Derivada direcional de 4arctg(xy)

[NiGoRi]

Alguém sabe me dizer como fazer para encontrar f'x e f'y de 4artg(xy)?

[Sobolev]

Apenas tem que conhecer a regra de derivação do arco tangente (função real de variável real)

\((\arctan u)' = \frac{u'}{1+u^2}\)

Assim, no caso que apresenta,

\(f'_x = \frac{(xy)'_x}{1+(xy)^2} = \frac{y}{1+(xy)^2}\)


\(f'_y = \frac{(xy)'_y}{1+(xy)^2} = \frac{x}{1+(xy)^2}\)

[Quito]

Direção de maior crescimento de \(f(x,y)=x^2+y^2-4arctg(xy)\) no ponto (a,b)=(1,1)

\(f'x=2x-\frac{y}{1+(xy)^2}\)
\(f_{x}(1,1)=2-\frac{1}{2}\)
\(f_{x}(1,1)=\frac{3}{2}\)

\(f'y=2y-\frac{x}{1+(xy)^2}\)
\(f_{y}(1,1)=2-\frac{1}{2}\)
\(f_{y}(1,1)=\frac{3}{2}\)

\(\underset{U}{\rightarrow}=-\frac{\bigtriangledown f(1,1)}{\left \| \bigtriangledown f(1,1) \right \|}=-\frac{(\frac{3}{2},\frac{3}{2})}{\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}}=-\frac{(\frac{3}{2},\frac{3}{2})}{\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}}\Rightarrow\)
\(\Rightarrow -\frac{(\frac{3}{2},\frac{3}{2})}{\sqrt{\frac{18}{8}}}\)
\(-\left \| \bigtriangledown f(1,1) \right \|=-\sqrt{\frac{18}{8}}\)