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Obg

Suponho que \(pr_{\vec{AD}}\vec{AB}\) se refere à projeção ortogonal de \(\vec{AD}\) em \(\vec{AB}\).
Nesse caso, a equação \(pr_{\vec{AD}}\vec{AB}=\frac{4}{5}\vec{AB}\) significa que \(D\) está na reta perpendicular a \(\vec{AB}\) que passa pelo ponto \(A+\frac{4}{5}\vec{AB}\). Como \(A=(1,\frac{1}{5})\) e \(\vec{AB}=(1,0)\) isso significa que \(D\) está na reta de equação \(x=\frac{9}{5}\), ou seja, \(D\) é um ponto de coordenadas \((\frac{9}{5},t)\). Falta só determinar o valor de \(t\). Para isso vamos usar o facto de \(ABCD\) ser um losangulo (o que significa que \(||\vec{AD}||=||\vec{AB}||\)) e D estar no primeiro quadrante.
\(||\vec{AD}||=||D-A||=||(\frac{4}{5},t-\frac{1}{5})||=\sqrt{(\frac{4}{5})^2+(t-\frac{1}{5})^2}\)
Como \(||\vec{AB}||=||(1,0)||=1\), tudo o que resta a fazer é resolver a equação \(\sqrt{(\frac{4}{5})^2+(t-\frac{1}{5})^2}=1\) e tirar o valor positivo de \(t\) (correspondente a um ponto D no primeiro quadrante).
Deixo isso como exercício, espero ter ajudado.

Olá Rui,

Então é incorreto considerar que:

AD = \(\frac{4}{5}\)AB?

Porque eu considerei isso uma verdade, então obtive AD =\((\frac{4}{5}, 0)\)
e e dessa forma cheguei à D= (\(\frac{9}{5}, \frac{1}{5}\))

Aguardo!

Muito Grato!

É incorreto considerar AD = \(\frac{4}{5}\)AB porque AD e AB não são colineares (o que é dito que a projeção ortogonal de AD em AB é 4/5 de AB), o ponto D= (\(\frac{9}{5}, \frac{1}{5}\)) que achou não mais do a projeção do verdadeiro ponto D no segmento AB.