calcular polinomio sem calcular integral

[miguel.silva]

Seja \(F: R\rightarrow R\) uma função definida por

\(F(x)=3+\int_{0}^{x}\frac{1+sin(t)}{2+t^2}dt, x \epsilon R\)

Sem calcular o integral, encontre um polin ́omio P de grau 2 tal que P(0) = F(0), P′(0) = F′(0), P′′(0) = F′′(0).

Obrigado

[Sobolev]

Tem que usar o teorema fundamental do cálculo (para derivar F(x)) e depois a fórmula de taylor...

O polinómio de Taylor de grau 2, que verifica as condições propostas é dado por

\(p(x) = F(0) + F'(0)x + \frac 12 F''(0) x^2\)

\(F(0) = 3 + \int_0^0 \cdots dt = 3\)

\(F'(x) = \frac{1+\sin x}{2+x^2} \Rightarrow F'(0) = \frac 12\)

\(F''(x)=\frac{\cos x (2+x^2) - (1+\sin x) 2x}{(2+x^2)^2}\Rightarrow F''(0)=\frac 12\)

Assim, o polinómio pedido é

\(p(x) = 3 + \frac 12 x +\frac 14 x^2\)