Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Calcule:

\(\int_{2}^{3} \frac{2x+1}{x^3-x^2-x+1}dx\)




Resp: \(\frac{1}{4}ln\frac{3}{8}+\frac{3}{4}\)


Muito Obrigado !!!

Tem que decompor a função integranda em frações "simples". Tendo em conta que \(x^3-x^2-x+1=(x-1)^2 (x+1)\), devemos tentar a decomposição

\(\frac{2x+1}{x^3-x^2-x+1} = \frac{A}{x-1} +\frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+1}\)

donde concluímos que

\(\frac{2x+1}{x^3-x^2-x+1} = \frac{1/4}{x-1} +\frac{3/2}{(x-1)^2} + \frac{-1/4}{x+1}\)

e portanto

\(\int \frac{2x+1}{x^3-x^2-x+1} dx = \frac 14 \ln|x-1|-\frac 32 (x-1)^{-1}-\frac 14 \ln|x+1| + \mathrm{Cte}\)

Finalmente,

\(\int_2^3 \frac{2x+1}{x^3-x^2-x+1} dx = (\frac 14 \ln|3-1|-\frac 32 (3-1)^{-1}-\frac 14 \ln|3+1|)-(\frac 14 \ln|2-1|-\frac 32 (2-1)^{-1}-\frac 14 \ln|2+1|) = \cdots\)