Fórum de Matemática
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\(\int \frac{x^2+1}{x^4+1}\)

Não estou conseguindo montar os denominadores para usar o método de frações parciais

pelo aspeto diria que isso dará uns arcos de tangente

\(\int \frac{u'}{1+u^2}=arctg (u)+C\)

as frações parciais aplicam-se, normalmente, quando o grau do polinómio do numerador é superior ao do denominador.

mas confesso que de repente não estou a ver

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João Pimentel Ferreira
 
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Obrigada, nesse caso o exercício pede que seja resolvido usando frações parciais.

O denominador pode ser factorizado como o produto de dois polinómios do segundo grau sem raizes reais... Assim

\(\dfrac{x^2+1}{x^4+1} = \dfrac{x^2+1}{(x^2+\sqrt{2}x + 1)(x^2-\sqrt{2}x+1)} = \frac{A}{x^2+\sqrt{2}x + 1}+\frac{B}{x^2-\sqrt{2}x+1}\)

Pode ver facilmente que \(a=B=1/2\)...

Por outro lado,

\(\int \frac{1}{x^2-\sqrt{2} x +1} dx = \int \frac{1}{\frac 12 + (x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} dx\)...

Consegue concluir?

Fantástico caro Sobolov, você é um génio, ou melhor dizendo, um verdadeiro Sobolev

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João Pimentel Ferreira
 
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Não é caso para tanto João P. Ferreira!

Como as raizes complexas de polinómios com coeficiente reais aparecem sempre aos pares, qualquer polinómio pode ser factorizado usando potências de monómios (raizes reais de diversas multiplicidades) e potências de polinómios de grau 2 sem raizes reais (raizes complexas de diversas multiplicidades). As frações parciais assentam nesta decomposição, se bem que alguns dos casos não apareçam com tanta frequência.

Não sei se dá pra entender mas segue:

Muito obrigada a todos consegui entender

Exatamente
Como \(x^4+1\) não tem raízes reais, confesso que "congelei" logo aqui, pois não me ocorreu fatorizar em dois polinómios de grau 2. Obrigado

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João Pimentel Ferreira
 
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