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Mostre que o integral abaixo é convergente se r < −1 e divergente se r ≥ −1
\(\int_{1}^{+oo}x^rdx\)
(Sugestão: Começar por ver o caso r=-1)

Minha resolução:
\(=\underset{c\rightarrow +oo}{lim}\frac{x^{r+1}}{r+1}\)entre 1 e c=\(\underset{c\rightarrow +oo}{lim}\frac{c^{r+1}-1}{r+1}\)

Não consigo chegar a nenhuma conclusão. Agradeço ajuda. Obrigado

Bom inicialmente devemos observar que \(\int x^r dx = \frac{x^{r+1}}{r+1}+C\), para \(r\neq -1\), e \(\int x^{-1}dx=\ln{|x|}+C\).
Então devemos analisar três casos:
1º) \(r< -1\)
\(\int_{1}^{\infty}x^r dx=\lim_{a\rightarrow\infty}\left [ \frac{x^{r+1}}{r+1} \right]_{1}^{a}=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{a^{r+1}}{r+1}-\frac{1}{r+1}=0-\frac{1}{r+1}=-\frac{1}{r+1}\)
CONVERGE.
Obs.: a parcela \(\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{a^{r+1}}{r+1}=0\) porque o expoente \(r+1\) é negativo, o que faz inverter a parcela que tente ao infinito e a leva a zero.

2º) \(r= -1\)
\(\int_{1}^{\infty}x^{-1}dx=\lim_{a\rightarrow\infty}\left [\ln|x| \right ]_{1}^{a}=\lim_{a\rightarrow\infty} \ln{a}-\ln{1}=\infty\)
DIVERGE.

3º) \(r> -1\)
\(\int_{1}^{\infty}x^r dx=\lim_{a\rightarrow\infty}\left [ \frac{x^{r+1}}{r+1} \right]_{1}^{a}=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{a^{r+1}}{r+1}-\frac{1}{r+1}=\infty\)
DIVERGE.

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida sinalize.

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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei