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Boa tarde, comecei o estudo das primitivas e deparei-me com este exercício que não consigo resolver. Parece fácil e acredito que seja, mas nao estou a ver como chegar lá.

A resolução é feita desta maneira:

Separa-se a fracção e simplifica-se até chegar a \(2\int \sqrt{x} * e^{\sqrt{x}}\)

A partir daí não percebo como efectuar a mudança de variável \(u=\sqrt{x}\) para chegar a \(2e^{u}\), ou seja \(2e^{\sqrt{x}}\)

Já tentei resolver a primitiva pelo método de substituição, mas n cheguei a nada.



Obrigado
Afonso Muralha

Podemos fazer essa mudança de variável, mas não é assim tão simples...
\(t=\sqrt{x}\: \Rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\: \Rightarrow dx=2\sqrt{x}\, dt=2t\, dt
2\int t\, e^t \cdot 2t\, dt=4\int t^2e^t\, dt\)

Utilizemos agora o método de integração por partes:
\(u=t^2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: v=e^t
du=2t \: \: \: \: \: \: \: \: \: dv=e^t\)

\(4\int t^2e^t\, dt=4\cdot \left [ t^2e^t-\int 2te^t\, dt\right ]\)

Vamos integrar novamente por partes:
\(u=2t \: \: \: \: \: \: \: \: \: v=e^t
du=2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: dv=e^t\)

\(\int 2te^t\, dt=2te^t-\int 2e^t\, dt=2te^t-2e^t\)

De volta atrás:
\(4\int t^2e^t\, dt=4\cdot \left [ t^2e^t-(2te^t-2e^t)\right ]=4e^t ( t^2-2t+2 )=4e^{\sqrt{x}} ( x-2\sqrt{x}+2 )\)

Obrigado pela resposta, o que achei estranho foi que a resolução proposta para este problema é muito mais simples, mas (para mim) não é intuitiva, pelo que não compreendo a resolução (em anexo)

Ah, essa é diferente da primeira que mostrou. Essa é claramente imediata:

\(\left (e^{\sqrt{x}} \right )'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}\)

\(\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\int \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}=2\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}=2\int \left (e^{\sqrt{x}} \right )'\cdot e^{\sqrt{x}}=2e^{\sqrt{x}}\)

Tem razão, de facto postei o exercício errado, mas no livro ambos os problemas estão resolvidos da mesma maneira