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| Calcular volume da rotação de um círculo https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=10402 |
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| Autor: | Lucas2803 [ 07 fev 2016, 16:24 ] |
| Título da Pergunta: | Calcular volume da rotação de um círculo |
Bom dia amigos, vou ter exame em breve e saber esse tipo de questão é essencial: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do círculo \(x^2 + y^2\leq 1\) em torno da reta \(x + y = 2\) O problema é que eu não faço ideia de por onde começar, alguém pode me ajudar? Sei resolver qualquer outra questão de volume com figuras mais simples, mas essa me parece um bicho de 7 cabeças 
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| Autor: | Fraol [ 07 fev 2016, 20:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular volume da rotação de um círculo |
Olá, A distância do centro do círculo até a reta dada é \(\sqrt{2}\), concorda? Se assim for, \(dV = \pi \left[ \left(\sqrt{2}+\sqrt{1-y^2)\right)^2 - \left(\sqrt{2}-\sqrt{1-y^2)\right)^2 \right]dy\) e o volume será \(V=\int_{-1}^{1}dV\). O que acha, dá pra desenvolver com isto? |
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| Autor: | jorgeluis [ 07 fev 2016, 20:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular volume da rotação de um círculo |
lucas, pela equação reduzida do círculo, tiramos: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 (x-0)^2 + (y-0)^2 \leq 1\) centro do círculo: C(a,b)=C(0,0) raio do círculo: r2 = 1 ou r= 1 se, a rotação deste círculo gera um CILINDRO com raio de base \(r \leq 1\), e, a altura h é determinada pela equação da reta x+y=2. Então, podemos dizer que: x+Y=2r, ou seja, h = 2. logo, o volume máximo do cilindro é: \(V = \pi.r^2.h V = 2\pi\) |
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| Autor: | Lucas2803 [ 08 fev 2016, 22:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular volume da rotação de um círculo |
Fraol Escreveu: Olá, A distância do centro do círculo até a reta dada é \(\sqrt{2}\), concorda? Se assim for, \(dV = \pi \left[ \left(\sqrt{2}+\sqrt{1-y^2)\right)^2 - \left(\sqrt{2}-\sqrt{1-y^2)\right)^2 \right]dy\) e o volume será \(V=\int_{-1}^{1}dV\). O que acha, dá pra desenvolver com isto? Olá amigo, tudo bem? Você poderia por favor me explicar como chegou nessa fórmula? Agradeço sua resposta. |
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| Autor: | Fraol [ 09 fev 2016, 01:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular volume da rotação de um círculo |
Oi, Lucas2803 Escreveu: Você poderia por favor me explicar como chegou nessa fórmula? Eu usei o método das arruelas (Washer method). Na arruela (círculo com buraco no meio), a área é dada por \(\pi(R^2-r^2)\), \(R\) é o raio maior e \(r\) é o raio menor. O volume de uma arruela de espessura \(dy\) é \(dV = \pi(R^2-r^2)dy\). Colocando \(x\) em função de \(y\) em \(x^2 + y^2 = 1\), usando as distância à reta teremos \(R\) e \(r\). Assim cheguei na expressão do volume do sólido. |
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