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Calculo de Área usando Integrais !

Considere a região R2 definida a seguir:
É a região do primeiro quadrante limitada à esquerda pelo eixo y, abaixo pela curva x=2 (raiz y), acima à esquerda pela curva x= (y-1)^2 e acima à direita pela reta y=3-x.

Escreva a integral ou soma de integrais que expresse a área dessa região. Não é preciso revolver a integral.

\(A=\int_{1}^{2}\int_{(y-1)^2}^{3-y}1\, dx\, dy \: + \int_{0}^{1}\int_{(y-1)^2}^{2\sqrt{y}}1\, dx\, dy\)

Oi, Pedro. Eu sou iniciante no curso de Cálculo I, então, não consegui entender muito bem o que foi feito. Você poderia me explicar de outro jeito ? Obrigado e perdão pelo incômodo.

Claro que sim. Comecemos por tentar desenhar os gráficos. São gráficos simples, que você tem de conhecer e fazer o rascunho, pois o rascunho é 90% do trabalho. E fazendo agora mais detalhado reparei que errei na primeira resposta.

Como pode ver vai ter duas áreas de integração. Para quando y ∊[0,1[ e para quando y∊[1,2]

Para quando o y varia entre 0 e 1. O x varia entre 0 e a linha vermelha x=2√y e daí temos que essa área é dada por:
\(\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{2\sqrt{y}}1\, dx\, dy\)

E para quando y varia entre 1 e 2. O x varia entre linha azul x= (y-1)^2 e a linha verde x=3-y e daí temos que a área é dada por:
\(\int_{1}^{2}\int_{(y-1)^2}^{3-y}1\, dx\, dy\)

Pelo que a área total é dada pela soma dois dois integrais.

Poxa, muito obrigado! Acho que consegui entender