Fórum de Matemática
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Por favor, como se calcula a diferencial total, da função:

\(w = x^{3}+3y^{2} - 6z^{4}\)

Grato!

A derivada total de uma função escalar \(w:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\) num ponto \((a,b,c)\in\mathbb{R}^3\) é a transformação linear \(Dw:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\) tal que \(w((a,b,c)+(x,y,z))=w(a,b,c)+Dw(x,y,z)+o(||(x,y,z)||)\) (ou seja, o valor de \(w\) no ponto \((a,b,c)+(x,y,z)\) é aproximado por \(w(a,b,c)+Dw(x,y,z)\) a menos de um termo de ordem inferior a \(||(x,y,z)||\)). A derivada total tem representação matricial dada por

\(\left[\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) \quad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \quad \frac{\partial f}{\partial z}(a,b)\right]\)

que neste caso é \(\left[ 3a^2 \quad 6b \quad -24c^3 \right]\). Portanto a derivada total de \(w\) num ponto \((a,b,c)\) é a aplicação linear definida por \((x,y,z) \mapsto 3a^2 x+ 6b y -24c^3z\).