Dúvida derivação implicita e volume por cascas cilindricas

[hollan]

Olá, pessoal!

Gostaria de saber como resolvo integrais de cascas cilindricas onde a função aparece em forma de inequação.

E em relação a derivação implicita, gostaria de saber como ele (o solucionador) substituiu os termos da derivada.

Anexos

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[alod]

Derive ambos os membros em relação a x:
\(x = sin \ {y^3} \\
\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(sin \ {y^3}) \\
1=3y^2\frac{dy}{dx}cos \ {y^3}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2cos \ {y^3}} \ (1)\)
Mas sabemos que,
\(x = sin \ {y^3}\)
Logo,
\(y = (arcsin \ {x})^{\frac{1}{3}} (2)\)
E ainda,
\(sin^2 \ (y^3) + cos^2 \ (y^3) = 1 \\
cos^2 \ (y^3) = 1-sin^2 \ (y^3) \\
cos^2 \ (y^3) = 1-x^2 \\
cos \ (y^3) = \pm sqrt{1-x^2}\)
Mas, como a função arcsin x está definida para \(x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\):
\(cos \ (y^3) = sqrt{1-x^2} (3)\)
Portanto, fazendo (2), (3) em (1), obtém-se:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(arcsin \ {x})^{\frac{2}{3}}sqrt{1-x^2}}\)

[alod]

Desenhe no plano xy as curvas y = x² e y = 2, e pinte com o lápis a região x² ≤ y ≤ 2, para x ≥0.
Ao rotacionar essa região em torno do eixo y, você vai gerar, para cada valor de y, uma circunferência de raio x = √y em torno do eixo y. Para achar o volume da casca cilíndrica, você deve calcular a seguinte integral em y (soma das áreas das infinitas circunferências de raio √y geradas):
\(V = \int_{0}^{2} \pi (sqrt{y})^2 dy \\
V = \int_{0}^{2} \pi y dy = \frac{pi}{2} y^2 |\at_{y=0}^2\)
Portanto:
\(V = \frac{pi}{2} (2^2-0^2) = 2\pi\)

Anexos

Região x² ≤ y ≤ 2 para x ≥0.

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