Derivada de um ponto xo indicado na função

[Gabriela Amaral]

Determine a derivada f'(xo) no ponto xo indicado:
(CONTINUAR PASSO A PASSO)

\(f(x)=\frac{1}{x}, xo=2\)
RESPOSTA FINAL: \(f'(2)=-\frac{1}{4}\)


\(f'2=\frac{f(xo+\Delta x)-f(xo)}{\Delta x }= f'(2)=\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x }=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}= continuar...\)


\(f'(2)=\frac{1}{2}\)
\(f'(2+\Delta x)= \frac{1}{2+\Delta x}\)

[danko71]

\(f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}\\ f'(x^n)=n.x^{n-1}\\ f'(x^{-1})=-1x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\\ f'(2)=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}\\\)\\


\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x-f(x))}{\Delta x}\\ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{(x+\Delta x)\Delta x}-\frac{1}{x\Delta x}=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)\Delta x}=\frac{x-x-\Delta x}{x(x+\Delta x)\Delta x}=\frac{-\Delta x}{(x^2+x\Delta x)\Delta x}=-\frac{1}{X^2+x\Delta x}\\ f'(x)=\frac{lim}{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{lim}{\Delta x\rightarrow 0}-\frac{1}{x^2+x\Delta x}=-\frac{1}{x^2+0}=-\frac{1}{x^2}\\ f'(2)=-\frac{1}{4}\)

[Gabriela Amaral]

Olá, estava usando o outro método...
queria por ele... não consegui desgarrar de "continuar"...

[Gabriela Amaral]

Consegui...
era assim que eu estava tentando:

\(f'(2)=\frac{\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}}{\Delta x}= \frac{\frac{2-(2+\Delta x)}{(2+\Delta x)(2)}}{\Delta x}= \frac{\frac{2-2-\Delta x}{4+2\Delta x}}{\Delta x}= \frac{-\Delta x}{4+2\Delta x}\cdot \frac{1}{\Delta x}=\frac{-1}{4+2\Delta x}\)

\(f'(2)= lim _{\Delta x \mapsto 0 }\ \frac{-1}{4+2\Delta x}=\frac{-1}{4+2(0)}=-\frac{1}{4}\)

[danko71]

Ótimo, Gabi.

Aqui vai uma para treinamento: \(f(x)=x^2\)
A resposta é: 2x

Saudações,