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Regra de Leibniz numa prova https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=14009 |
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Autor: | eohyn [ 27 set 2018, 15:14 ] |
Título da Pergunta: | Regra de Leibniz numa prova |
Boa tarde, Não estou a conseguir resolver o seguinte exercício, em que pede para utilizar a regra de Leibniz. Certamente é alguma nabice minha... qualquer ajuda é bem vinda! “Use a regra de Leibniz para mostra que \(\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left(a\cos^2x+b\sin^2x\right)^2}ex=\frac{\pi}{4\sqrt{ab}}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\). Onde \(a,b>0\). Sugestão: Considere o integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2}dx\)” Muito obrigado! |
Autor: | Rui Carpentier [ 30 set 2018, 18:14 ] |
Título da Pergunta: | Re: Regra de Leibniz numa prova |
Sugestões: 1º Passo: Mostre que \(\frac{1}{\left(a\cos^2x+b\sin^2x\right)^2 }= -\frac{d}{da}\left(\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}\right)-\frac{d}{db}\left(\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}\right)\). (exercício) Logo \(\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left(a\cos^2x+b\sin^2x\right)^2}dx=-\frac{d}{da}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}dx-\frac{d}{db}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}dx\) (pela regra de Leibniz). 2º Passo: Mostre que \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}dx = \frac{\pi}{2\sqrt{ab}}\) (exercício). Sugestão: \(\frac{1}{a\cos^2x+b\sin^2x}=\frac{1}{\sqrt{ab}}\frac{\left(\sqrt{b/a}\mbox{tg}x\right)'}{1+\left(\sqrt{b/a}\mbox{tg}x\right)^2}\). 3º Passo: Conclua o exercício. |
Autor: | eohyn [ 03 Oct 2018, 23:20 ] |
Título da Pergunta: | Re: Regra de Leibniz numa prova |
Boa noite, Antes de mais, muito obrigado pela ajuda! Essencialmente, só precisava mesmo do primeiro passo, a partir daí era fácil... No entanto, penso que aí nas contas falta um \(-\dfrac{1}{2}\) em evidência no primeiro passo... |
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