Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Prezado senhores, boas a todos.

Fico grato a quem me ajude a resolver este exercício:

Questão: Sejam I e J os integrais definidas por

\(I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})(\cos x)^2dx\) e \(J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})(\sin x)^2dx\)

1) Calcule I + J, I – J

Devido à linearidade,

\(I+J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})cos^2(x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})sen^2(x)dx=\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})(cos^2(x)+sen^2(x))dx=\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})dx\)

Que (espero) é fácil de resolver.

\(I-J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})(cos^2(x)-sen^2(x))dx\)

Ora sabemos que

\(cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+cos(2x))\)
e
\(sen^2(x)=\frac{1}{2}(1-cos(2x))\)

Logo,
\(cos^2(x)-sen^2(x)=cos(2x)\)

e
\(I-J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+\frac{\pi}{2})cos(2x)dx\)

Que pode ser resolvido separando os termos e resolvendo um dos integrais por partes. Espero que nao haja dificuldade

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928