Meu caro
Apenas um detalhe:
\(0 \leq r\leq \frac{2}{cos \theta }\)
Cumprimentos
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| Exercício transformação de coordenadas polares em integrais https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=263 |
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| Autor: | emsbp [ 30 mar 2012, 18:55 ] |
| Título da Pergunta: | Exercício transformação de coordenadas polares em integrais |
Peço ajuda, agora, no seguinte integral, passando para coordenadas polares: \(\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} dy dx\) Penso que \(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\), certo? E quanto a r? |
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| Autor: | josesousa [ 02 abr 2012, 16:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr |
A função integranda é basicamente (1/r). Logo, ao mudar para coordenadas polares vamos integrar em \(\theta\) e \(\rho\) a função (1/r).r = 1. Se desenharmos a área de integração, dá-nos um triângulo. A fronteira é a condição y=0, y=x e, importante, x=2. Se x=2, temos \(\rho cos(\theta) = 2\) Logo temos a relação extra que falta \(\rho \leq 2/cos(\theta)\) |
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| Autor: | emsbp [ 02 abr 2012, 20:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr |
Então, como \(1\leq x\leq 2\), vamos ter \(\frac{1}{cos\theta }\leq r\leq \frac{2}{cos \Theta }\). Vamos ter então que calcular \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\int_{\frac{1}{cos \theta }}^{\frac{2}{cos \theta }}1 dr d\theta\). Pelas minhas "contas", chego ao resultado \(ln(1+\frac{\sqrt{2}}{2})\). No entanto, nas soluções indicadas o resultado é \(ln(1+sqrt{2})\). Não consigo detetar onde provavelmente errei. Chegando à parte \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{cos \theta } d\Theta\), resolvi por substituição t=cos \(\theta\) e t' =-sen \(\theta\). Estará a faltar algum pormenor? Obrigado! |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 02 abr 2012, 23:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr |
Meu caro Apenas um detalhe: \(0 \leq r\leq \frac{2}{cos \theta }\) Cumprimentos
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| Autor: | emsbp [ 03 abr 2012, 19:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr |
Mas como x varia de 1 a 2, isto não vai influenciar também o raio? Podia explicar o porquê de \(0\leq r\leq \frac{2}{cos \theta }\)? Obrigado! |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 04 abr 2012, 00:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr |
Boas... Como é que o \(x\) varia entre 1 e 2? No integral inicial que nos forneceu o \(x\) varia entre 0 e 2 |
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| Autor: | emsbp [ 04 abr 2012, 18:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr |
Tem toda a razão. Peço desculpa. O engano foi meu quando passei o integral para cá. Portanto, o exercício inicial é na realidade \(\int_{1}^{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} dy dx\). . |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 05 abr 2012, 16:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Exercício transformação de coordenadas polares em integr |
Então o intervalo que vc utilizou está correto |
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