Fórum de Matemática
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Peço ajuda, agora, no seguinte integral, passando para coordenadas polares:
\(\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} dy dx\)


Penso que \(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\), certo?
E quanto a r?

A função integranda é basicamente (1/r).
Logo, ao mudar para coordenadas polares vamos integrar em \(\theta\) e \(\rho\) a função (1/r).r = 1.

Se desenharmos a área de integração, dá-nos um triângulo. A fronteira é a condição y=0, y=x e, importante, x=2.

Se x=2, temos \(\rho cos(\theta) = 2\)

Logo temos a relação extra que falta

\(\rho \leq 2/cos(\theta)\)

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Então, como \(1\leq x\leq 2\), vamos ter \(\frac{1}{cos\theta }\leq r\leq \frac{2}{cos \Theta }\).
Vamos ter então que calcular \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\int_{\frac{1}{cos \theta }}^{\frac{2}{cos \theta }}1 dr d\theta\).

Pelas minhas "contas", chego ao resultado \(ln(1+\frac{\sqrt{2}}{2})\). No entanto, nas soluções indicadas o resultado é
\(ln(1+sqrt{2})\).
Não consigo detetar onde provavelmente errei. Chegando à parte \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{cos \theta } d\Theta\), resolvi por substituição t=cos \(\theta\)
e t' =-sen \(\theta\).
Estará a faltar algum pormenor?
Obrigado!

Meu caro

Apenas um detalhe:

\(0 \leq r\leq \frac{2}{cos \theta }\)

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Mas como x varia de 1 a 2, isto não vai influenciar também o raio?
Podia explicar o porquê de \(0\leq r\leq \frac{2}{cos \theta }\)?
Obrigado!

Boas...

Como é que o \(x\) varia entre 1 e 2?

No integral inicial que nos forneceu o \(x\) varia entre 0 e 2

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João Pimentel Ferreira
 
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Tem toda a razão. Peço desculpa. O engano foi meu quando passei o integral para cá.
Portanto, o exercício inicial é na realidade \(\int_{1}^{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} dy dx\).
.

Então o intervalo que vc utilizou está correto

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João Pimentel Ferreira
 
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