Fórum de Matemática
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Boa tarde.
No cálculo de \(\int \frac{(x^{3}-1)}{4x^{3}-x}dx\), cheguei ao resultado \(\frac{1}{4}x+lnx-\frac{1}{4}ln(2x-1)-\frac{3}{4}ln(2x+1)+c\).
No entanto, no Wolfgram é indicado como solução \(\frac{1}{4}x+lnx-\frac{7}{16}ln(2x-1)-\frac{9}{16}ln(2x+1)+c\).
Estará a faltar-me alguma simplificação?
Calculei através dos métodos dos coeficientes indeterminados, ficando seguidamente com o sistema:
\(\left\{\begin{matrix}4A+2B+2C=0 \\ B-C=1 \\ -A=-1 \end{matrix}\right.\), donde \(\left\{\begin{matrix}A=1 \\ B=\frac{-1}{2} \\ C=\frac{-3}{2} \end{matrix}\right.\).
Depois, foi só aplicar a regra dos logaritmos.
Obrigado!

Fizeste a divisão do numerador pelo denominador?

\(D |\underline{\ \ d}
r \ \ \ q\)

\(D=d\times q+r\)

\(\frac{D}{d}=q+\frac{r}{d}\)

Lembra-te que tens de o fazer pois o grau do numerador (3) é maior ou igual ao grau do denominador (3)

Trata-se de uma função racional imprópria

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Sim, fiz a divisão. Tanto que foi a partir de tal que resolvi o sistema através do método dos coeficientes indeterminados.
Obrigado!

Jovem, isso é só uma questão de contas, revê bem as contas que fizeste

Segue resolução em anexo, com o resultado igual ao do Wolfram

Fica bem

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João Pimentel Ferreira
 
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Esqueci-me de dizer-te, neste casos onde não há fatores quadrados no denominador, do tipo \((x-a)^2\), podes usar a vulgarmente conhecida como "regra do tapa"

Ou seja

Tinhas

\(\frac{1/4x-1}{4x(x+1/2)(x-1/2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1/2}+\frac{C}{x-1/2}\)

Assim para achares o A "tapas" o fator \(x\) no denominador e substituis a expressão por x=0

\(A=\left[\frac{1/4x-1}{4(x+1/2)(x-1/2)}\right]_{x=0}=1\)

Podes fazer o mesmo para B e C

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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