Fórum de Matemática
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eu usei uma calculadora para achar o resultado e achei ∫ 1/(x² + r^2 )^(3/2) dx = x/r^2*√(x² + r^2 ) só que não sei como chegar nessa resposta

Queremos resolver esta integral: \(\int \frac{dx}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}\)

Para este tipo de integral, devemos utilizar uma substituição trigonométrica apropriada. Neste caso, basta fazer

\(x=r\tan t\Rightarrow dx=r\sec ^{2} tdt\)
\(x^{2}+r^{2}=(r\tan t)^{2}+r^{2}=r^{2}\tan^2 t+r^2=r^2(\tan^2 t+1)\Rightarrow\)
\(x^{2}+r^{2}=r^{2}\sec^2 t\)

Substituindo, temos

\(\int \frac{r\sec^2 tdt}{(r^2\sec^2 t)^{3/2}}=\int \frac{r\sec^2 tdt}{r^3\sec^3 t}=\frac{1}{r^2}\int \frac{dt}{\sec t}=\frac{1}{r^2}\int \cos t dt=\frac{1}{r^2}\sin t+C\)

Para transformarmos da variável t de volta à variável original x, utilizamos a relação original:

\(x=r\tan t\Rightarrow \tan t=\frac{x}{r}\)

Desenhe um triângulo retângulo, com um ângulo agudo igual a \(t\). Faça o cateto oposto a \(t\) ser igual a \(x\), e o cateto adjacente a \(t\) ser igual a \(r\). Deste triângulo, obtemos a relação
\(\sin t=\frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}\), onde \(\sqrt{x^2+r^2}\) é a medida da hipotenusa deste triângulo.

Substituindo \(\sin t\) por \(\frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}\), finalmente chegamos a
\(\int \frac{1}{(x^2+r^2)^{3/2}}dx=\frac{x}{r^2 \sqrt {x^2+r^2}}+C\)

Segue a figura do triângulo que relaciona as variáveis \(x\) e \(t\).