Resolução de integral de funções não definidas

[Micheltoledo]

Boa noite, tentei resolver esse problema de integral utilizando integral por partes porém não chego em nenhuma das opções finais.. Se alguém pudesse me ajudar. Obrigado!

Anexos

Boa noite, tentei resolver esse problema de integral utilizando integral por partes porém não chego em nenhuma das opções finais.. Se alguém pudesse me ajudar. Obrigado

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[josesousa]

\(g(t)=\int p(t)dt=\int a.q(t).f(t)dt=\)
\(\int a.\left( \int f(t) \right).f(t)dt=\)
\(\int a.q(t).q'(t)dt=\)
\(\frac{1}{2}a.q(t)^2\)

Resposta A

[Micheltoledo]

Obrigado pela solução... mas estou em dúvida quando a terceira linha, qual operação você usou para substituir f(t) por q(t) e como apareceu 1/2 sendo que não sabemos qual a equação que representa a função q(t)?

[emilioo3]

Integral u.du:

u= q(t)
du= q´(t).dt assim, substituindo na integral:
Int a. q(t).q´(t).d(t) = a int u.du = a.(u²/2)
voltando para a variavel fica:

=a.q²/2 = 1/2 .a.q²