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11.7.8. (Um Curso de Cálculo Vol.1 - Guidorizzi 5ªed.)
Um aluno (precipitado), ao calcular a integral \(\int_{-1}^{1}\sqrt{1+x^{2}}dx\), raciocinou da seguinte forma: fazendo a mudança de variável u=1+x², os novos extremos de integração seriam iguais a 2 (x=-1→u=2;x=1→u=2) e assim a integral obtida após a mudança de variável seria igual a zero e, portanto, \(\int_{-1}^{1}\sqrt{1+x^{2}}dx=0\). Onde está o erro?

A integral que você quer resolver é do tipo \(\sqrt{a^2+u^2\), com \(a>0\)

Por meio te uma tabela de integrais você conseguirá resolvê-la.

Note que da forma que definimos esta integral, temos que \(a=1\) e \(u=x\)

Pela fórmula, temos:

\(\int \sqrt{1+x^2}dx=\)

\(=\frac{x}{2}\sqrt{1^2+x^2}+\frac{1^2}{2}ln(x+\sqrt{1^2+x^2})+C=\)

Caso ainda não ficou esclarecido contate-me.

Não vale tudo ao escolher uma mudança de variável... A mudança de variável deve estabelecer uma correspondência bijectiva entre os intervalos em causa. Neste caso a mudança de variável escolhida não é injectiva.