Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde, precisava de ajuda nestes 3 exercicios.

1- De quantas maneiras distintas podemos distribuir 27 livros distintos por três pessoas A, B e C sabendo que as pessoas A e B juntas recebem o dobro do que a pessoa C recebe?

1) A única maneira de isso acontecer é se A e B, juntos, receberem 18 livros e C receber 9. Então, teremos:
A recebe 0, B recebe 18, C recebe 9.
A recebe 1, B recebe 17, C recebe 9.
...
A recebe 18, B recebe 0, C recebe 9. (19 combinações).

Agora, devemos embaralhar os livros que cada um recebe:

Quando A recebe 1, B recebe 17 e C recebe 9, A pode receber qualquer um dos 27 livros. B receberá, em seu primeiro livro, qualquer um dos 26 restantes, e por aí vai. São 27! possibilidades.
Portanto, a resposta será 19 * 27! (não tenho certeza, posso ter errado algo), o que totaliza 2,07 * 10^29 combinações.

Olá
O Hugo está certo ao afirmar: A única maneira de isso acontecer é se A e B receberem 18 livros ao todo e C receber 9. Então, teremos:
A recebe 0, B recebe 18, C recebe 9, ou, A recebe 1, B recebe 17, C recebe 9, ou, ..., ou, A recebe 18, B recebe 0, C recebe 9.

Porquanto, o número (#) de maneiras distintas podemos distribuir 27 livros distintos naquelas condições é portanto a soma destes acontecimentos exclusivos, (A e B são acontecimentos exclusivos <=> \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)).

E cada parcela é o produto das possibilidades de distribuição (combinações neste caso uma vez que não importa a ordem da distribuição) por 3 pessoas independentes entre si:

Logo, \(=\binom{27}{0}\binom{27}{18}+\binom{27}{1}\binom{26}{17}+\binom{27}{2}\binom{25}{16}+...+\binom{27}{17}\binom{10}{1}+\binom{27}{18}\binom{9}{0}\)

Bom estudo

_________________
http://www.matematicaviva.pt/
F. Martins

Olá
O Hugo está certo ao afirmar: A única maneira de isso acontecer é se A e B receberem 18 livros ao todo e C receber 9. Então, teremos:
A recebe 0, B recebe 18, C recebe 9, ou, A recebe 1, B recebe 17, C recebe 9, ou, ..., ou, A recebe 18, B recebe 0, C recebe 9.

Porquanto, o número (#) de maneiras distintas podemos distribuir 27 livros distintos naquelas condições é portanto a soma destes acontecimentos exclusivos, (A e B são acontecimentos exclusivos <=> \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)).

E cada parcela é o produto das possibilidades de distribuição (combinações neste caso uma vez que não importa a ordem da distribuição) por 3 pessoas independentes entre si:

Logo, \(=\binom{27}{0}\binom{27}{18}+\binom{27}{1}\binom{26}{17}+\binom{27}{2}\binom{25}{16}+...+\binom{27}{17}\binom{10}{1}+\binom{27}{18}\binom{9}{0}\)

Bom estudo

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F. Martins