Olá, bem-vindo ao forum.

Em relação à sua questão, temos uma discussão fresquinha sobre este tipo de problema aqui neste link do forum. Em especial, sugiro a página 2 com as explicações do nosso colaborador Rui Carpentier.

AAAA.BBB.CC

Anagramas com repetição:

- total de 9 letras, sendo 4A, 3B e 2C.

\(\frac{9!}{4!3!2!}\)

se, 2 letras B não podem ficar juntas, então, devemos excluir uma letra B e tirar a diferença, assim fica:

excluindo uma letra B:

\(\frac{8!}{4!2!2!}\)

diferença:

\(\frac{9!}{4!3!2!} - \frac{8!}{4!2!2!} =
1260 - 420 =
840\)

(...)De quantos modos podemos dispor em filas 4 letras A, 3 letras B e 2 letras C, sem que duas letras B fiquem juntas

fabim,
o desenvolvimento do dininis está correto, embora não tenha acompanhado o raciocinio, por outro lado, percebi que devemos excluir e adicionar uma letra B para chegamos ao resultado.

Veja:

AAAA.BBB.CC

Anagramas com repetição:

- total de 9 letras, sendo 4A, 3B e 2C.

\(\frac{9!}{4!3!2!}\)

se, 2 letras B não podem ficar juntas, então, devemos excluir uma letra B, assim fica:

excluindo uma letra B:

\(\frac{8!}{4!2!2!}\)

após excluir uma letra B, devemos adicionar (BBB+B=4B) somente no denominador e depois tirar a diferença, assim fica:

adicionando uma letra B somente no denominador:

\(\frac{9!}{4!4!2!}\)

tirando a diferença:

\(\frac{9!}{4!3!2!} - \frac{8!}{4!2!2!} - \frac{9!}{4!4!2!}=
1260 - 420 - 315 =
525\)

AAAABBBCC (Essencialmente, é o mesmo exercícío que coloquei, e já foi referido, tirando a letra não repetida que lá inseri)

Vou responder aqui, utilizando o raciocinio do Prof. Carpentier (Assim verifico se fiquei a perceber )

BBB -> 9-2=7 posições diferentes -> \(^{7}C_{3}\)
AAAA -> 9-3=6 -> \(^{6}C_{4}\)
CC -> 6-4=2 -> \(^{2}C_{2}=1\)

Ou seja,
\(^{7}C_{3}\;\times \;^{6}C_{4}\;=\;35\;\times \;15\;=\;525\)

Verifique se é essa a resposta