probabilidade de sair 1 rei a cada um de 4 jogadores

[liliana.pereira]

Num jogo de cartas distribuem-se 40 cartas por 4 jogadores, recebendo cada jogador 10 cartas. Qual é a probabilidade de, numa determinada jogada, sair 1 rei a cada um dos jogadores?

Obrigada

[Rui Carpentier]

Para o primeiro naipe temos \({36\choose 9}\times {4\choose 1}\) possibilidades de distribuir 10 cartas com 1 só rei num total de \({40\choose 10}\) possibilidades de distribuir 10 cartas.
Para o segundo naipe temos \({27\choose 9}\times {3\choose 1}\) possibilidades de distribuir 10 cartas com 1 só rei num total de \({30\choose 10}\) possibilidades de distribuir 10 cartas.
Para o terceiro naipe temos \({18\choose 9}\times {2\choose 1}\) possibilidades de distribuir 10 cartas com 1 só rei num total de \({20\choose 10}\) possibilidades de distribuir 10 cartas.
E o quarto naipe fica determinado pelos três primeiro.
Temos então que a probabilidade pedida é
\(\frac{{36\choose 9}\times {4\choose 1}}{{40\choose 10}}\times \frac{{27\choose 9}\times {3\choose 1}}{{30\choose 10}}\times\frac{{18\choose 9}\times {2\choose 1}}{{20\choose 10}}\) que salvo erro dá \(\frac{1000}{39\times 38\times 37}\).

[liliana.pereira]

Muito obrigada Rui Carpentier, mas estive a fazer as contas e deu-me um valor maior do que 1. Deu-me 4*3*2=24. Não cheguei à conclusão de que dava 1000/(39*38*37). Faltará alguma coisa na tua explicação?

Obrigada,

Liliana

[Rui Carpentier]

\(\frac{{36\choose 9}\times {4\choose 1}}{{40\choose 10}}\times \frac{{27\choose 9}\times {3\choose 1}}{{30\choose 10}}\times\frac{{18\choose 9}\times {2\choose 1}}{{20\choose 10}}=\frac{\frac{36!}{9!27!}\times 4}{\frac{40!}{10!30!}}\times \frac{\frac{27!}{9!18!}\times 3}{\frac{30!}{10!20!}}\times\frac{\frac{18!}{9!9!}\times 2}{\frac{20!}{10!10!}}=\frac{\frac{36!}{(9!)^4}\times 4!}{\frac{40!}{(10!)^4}}=\frac{36!(10!)^4 4!}{40!(9!)^4}=\frac{10^4 \times 4!}{40\times 39\times 38\times 37}=\frac{6000}{39\times 38\times 37}\)

Houve de facto erro nas contas.

[liliana.pereira]

Muito obrigada Rui Carpentier!

Feliz Natal!!

Liliana