Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite.
Tenho dúvida na resolução do seguinte problema de probabilidades:
"Fui ao médico. Ele examinou-me e comunicou-me: - Pelos sintomas o senhor tem 50% de probalilidades de ter uma doença muito rara, doença de Akdov. Vamos fazer o teste rápido de Eristov. É um teste com credibilidade de 80%, ou seja, o teste dá resultado certo 80% das vezes e falha nos restantes 20%. Fizemos o teste, deu negativo. Fiquei mais descansado. Mas o médico acrescentou: - por segurança é melhor também fazer o teste de Smirnov, que só falha 10% das vezes. Venha cá amanhã de manhã em jejum. No dia seguinte lá voltei e fiz o teste e deu positivo. Fiquei bem assustado. Então o médico aconselhou-me a ir no laboratório fazer o teste Absolut, que é mais caro mas tem fiabilidade de 95%. Fiz este último teste e deu negativo. Fiquei mais animado. Mas continuo na dúvida: afinal qual a probabilidade de ter aquela doença?"
Temos de construir um diagrama em árvore? Ou vamos pela probabilidade condicionada?
Obrigado.

Encontrei que a probabilidade de ter a doença é 10,59% e de não ter é 84,41%. Você tem o gabarito?

Todos os acontecimentos são independentes, bastará multiplicar as probabilidades...

0.5 x 0.2 x 0.1 x 0.05 = 0.0005 = 0.05 %

Bom dia.
A solução indicada no manual é 10.6%. Logo, deduzo que a resposta dada pelo Gustavo esteja correta.. Poderia me mostrar como chegou a este valor?
Obrigado.

Bom dia,

Se o indivíduo esta doente, então ocorreu a probabilidade inicial de 0,5 "E" o teste de Eristov falhou "E" o teste de Smirnov acertou "E" o teste de Absolut falhou.
P (doente) = 0,5*0,2*0,9*0,05 = 0,45% (I)

Em contra partida, se ele não esta doente, ocorre o contrário: O teste de Eristov acerta, o de Smirnov erra e o de Absolut acerta:
P (Não doente) = 0,5*0,8*0,1*0,95 = 3,80% (II)

Todavia, sabemos que "OU" o indivíduo esta doente, "OU" ele não esta. Portanto, P (doente) + P (Não doente) = 1 (III)

(OBS: Nesta parte tenho uma dúvida conceitual, favor verificar.)

Digo então que as probabilidades são proporcionais aos valores (I) e (II).

K * 0,45% + k * 3,80% = 1 --> K = 23,53

P (doente) = 23,53 * 0,45% = 10,59%
P (não doente) = 23,53 * 3,80% = 89,41%

Fazendo uma análise de ordem de grandeza, percebemos que o resultado pode estar certo, pois a probabilidade de não estar doente é bem maior do que a probabilidade de esta doente.

Boa noite.
Obrigado pela explicação. Faz sentido.