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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Se lançar um dado 4 vezes,qual a probabilidade de sair 2 vezes o numero 6 sendo que :

a) no primeiro lançamento sai o numero 5?

b)num dos lançamentos saiu o numero 5?

Probabilidades condicionais:\(P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

a) \(P(A\cap B)=1\times1/6\times1/6\times5/6\times 3\)
\(P(B)=1/6\)
b) \(P(A\cap B)=1\times1/6\times1/6\times5/6\times 3 (2)\)
\(P(B)=1/36\)

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Marco Tavares Pereira
Tudo é trivial, para alguém.
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Olá pegr e mpereira

mpereira acho que a tua resolução está quase certa, mas deves rever.
a)
Há 4 extracções independentes, em que para a) a 1.ª ocorre a saída de "5".
Se usarmos o conceito clássico de probabilidades, contando os casos favoráveis (C.F.) e os casos possíveis (C.P.), quantos teremos?
Descriminando os 2 conjuntos, pode efectuar-se a contagem de modo ainda pouco trabalhoso:
C.F.={(5,6,6,1);...;(5,6,6,5);(5,6,1,6);...;(5,6,5,6);(5,1,6,6);...;(5,5,6,6)}
C.P.={(1,1,1,1);...;(1,1,1,6);(1,1,2,1);...;(1,1,2,6);...(1,1,6,1);...;(1,1,6,6);...;(1,2,1,1);...;(1,6,6,6);(2,1,1,1);...;(6,1,1,1);...;(6,6,6,6)}

b)
Também aqui, ainda poderemos, sem risco de grande complicação, efectuar-se a contagem, mas notando-se que o "5" só deverá figurar 1a única vez:
C.F.={(5,6,6,1);...;(5,6,6,4);(5,6,1,6);...;(5,6,4,6);(5,1,6,6);...;(5,4,6,6);
(6,5,6,1);...;(6,5,6,4);(6,5,1,6);...;(6,5,4,6);(1,5,6,6);...;(4,5,6,6);
(6,6,5,1);...;(6,6,5,4);(6,1,5,6);...;(6,4,5,6);(1,6,5,6);...;(4,6,5,6);
(6,6,1,5);...;(6,6,4,5);(6,1,6,5);...;(6,4,6,5);(1,6,6,5);...;(4,6,6,5)}
C.P.={(1,1,1,1);...;(1,1,1,6);(1,1,2,1);...;(1,1,2,6);...(1,1,6,1);...;(1,1,6,6);...;(1,2,1,1);...;(1,6,6,6);(2,1,1,1);...;(6,1,1,1);...;(6,6,6,6)}

Quantos contam? As minhas respostas são:a) 15/1296 e b) 48/1296
Confirmam? Espero ter ajudado Bom estudo!

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F. Martins

Em relação à aos casos possíveis da a), interpretei mal o significado de \(A\cap B\), que é a probabilidade de sair 5 no primeiro lançamento e dois 6 nos restantes.
(Desculpem, deveria ter descrito o que entendo por acontecimentos A e B.
Acontecimento A: obter 2 lançamentos com o resultado 6;
Acontecimento B: obter o resultado 5 no primeiro lançamento.
Assim,
\(P(A \cap B)=\frac{1}{6} \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times 3\)
dado que 1/6 é a probabilidade de sair 5 no 1º lançamento e de sair 6 nos segundo e terceiro lançamentos, 5/6 é a probabilidade de sair um número diferente de 6 no último lançamento e o 3 representa os três lançamentos em que não sai 6.
Desta forma,
\(P(A)=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times 3= \frac{15}{216}\).
Fernando Martins, a tua proposta só tem um problema nos casos possíveis. Se assumes que 5 ocorre no primeiro lançamento, tal já aconteceu, e portanto os teus casos possíveis terão de tomar sempre a forma \((5,a,b,c)\).
Em relação à alínea b) (aqui estava bem ao lado) o acontecimento A mantém-se e o B altera-se:
Acontecimento B: obter um lançamento com o resultado 5.
Logo,
\(P(B)=\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times 4\)
\(P(A \cap B)= \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times 12\),
onde o doze representa as diferentes formas com que pode sair um 5 e dois 6 em 4 lançamentos, se sai primeiro um 5 e depois dois 6 e depois um número qualquer ou um 6, um número qualquer, um 5 e um 6, etc. Peço vos que verifiquem se calculei bem este 12, que deverá representar as permutações de quatro conjuntos A A B C, onde não fazemos distinção entre os dois A.
Desta forma,
\(P(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} =\frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times 12}{\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times 4}=\frac{3}{25}\).
O que é que acham?

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Marco Tavares Pereira
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Estás certo mpereira, considerei erradamente a probabilidade conjunta em vez de considerar a probabilidade condicionada. Bem visto.
Quanto à b) está certo, existem 12 permutações possíveis: C(4,2)*C(2,1)

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F. Martins