Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Uma pesquisa referente a preferencia em relação aos sorvetes A e B mostrou o seguinte resultado: um terço das pessoas entrevistadas não consomem o sorvete A. Quatro quintos das pessoas entrevistadas não consomem o sorvete B. 327 pessoas consomem os dois sorvetes. Um quinto das pessoas entrevistadas não consomem sorvete. Quantas pessoas foram entrevistadas para essa pesquisa

Boa tarde!

Neste tipo de problema podemos utilizar a seguinte relação para os conjuntos A e B:
\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)

Se 1/3 não consomem A, 2/3 consomem
Se 4/5 não consomem B, 1/5 consomem.
327 consomem OS DOIS.
1/5 NÃO CONSOMEM SORVETE, então 4/5 CONSOMEM!

Da ideia acima temos:
\(n(A)=\frac{2}{3}
n(B)=\frac{1}{5}
n(A\cup B)=\frac{4}{5}\)

\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\\
\frac{4}{5}=\frac{2}{3}+\frac{1}{5}-n(A\cap B)\text{ multiplicando por 15}\\
12=10+3-15n(a\cap B)\\
15n(A\cap B) = 1\\
n(A\cap B)=\frac{1}{15}\)

Então, como 327 consomem os dois:
\(\frac{1}{15}T=327
T=327\times 15
T=4.905\)

Espero ter ajudado!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Bom dia Frankwilliam e Baltuilhe,

Desculpem por me estar a intrometer na discussão, mas eu tentei resolver o exercício de outra forma e consegui um feito incrível: cheguei ao resultado que Baltuilhe apresentou, apenas com a diferença de ser o seu simétrico, ou seja, deu negativo. Por isso é que digo que foi um feito incrível, uma vez que consegui o impossível
Obviamente que me enganei em algum lado, mas não consigo descobrir onde, então gostava de partilhar o meu raciocínio com vocês e de vos pedir que se pudessem me ajudassem a encontrar o lapso.

A: Consumir o sorvete A
B: Consumir o sorvete B

\(A\cap B=327\)

Agora vou explicar como eu interpretei o enunciado: , isto significa que um terço dos entrevistados consome B ou não consome A nem B. Do mesmo modo, , ou seja, quatro quintos dos entrevistados consome A ou não consome A nem B.
Por outro lado, podemos definir o acontecimento "não comer A nem B" pela expressão \(\overline{A}\cap \overline{B}\) (porque se trata da interseção do complementar de A com o complementar de B) e assim \(P(\overline{A}\cap \overline{B})=\frac{1}{5}\)
Repare que para chegarmos ao número total de entrevistados, precisamos de encontrar o valor de \(P(A\cap B)\) , uma vez que esta expressão pode ser definida pelo quociente entre o número de entrevistados que consomem, simultaneamente, os dois tipos de sorvete e o número total de entrevistados.

Sabemos também que \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\) e que \(P(A\cup B)=1-P(\overline{A\cup B})=1-P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\) .


P.S: Eu separei a resolução por vários posts para a conseguir organizar melhor.

Depois de sabermos que \(P(A\cap B)\) é a expressão que pretendemos, podemos traduzir os excertos do enunciado que reorganizámos no post anterior em linguagem matemática.

"consumir B ou não consumir A nem B" pode ser escrito sob a forma de \(P(B\cup \left ( \overline{A}\cap \overline{B} \right ))\)

Por sua vez, "consumir A ou não consumir A nem B" pode ser traduzido pela expressão \(P(A\cup \left ( \overline{A}\cap \overline{B} \right ))\)

Neste momento devemos simplificar cada uma das expressões determinadas anteriormente, utilizando para tal a propriedade distributiva:
\(P(B\cup \left ( \overline{A}\cap \overline{B} \right ))=P(\left ( B\cup \overline{A}\, \right )\cap \left ( B\cup \overline{B}\, \right ))=P(\left ( \overline{A}\cup B \right )\cap \Omega )=P(\overline{A}\cup B)=\frac{1}{3}\)

\(P(A\cup \left ( \overline{A}\cap \overline{B} \right ))=P(\left ( A\cup \overline{A}\, \right )\cap \left (A\cup \overline{B}\, \right ))=P(\Omega \cap \left ( A\cup \overline{B}\, \right ))=P(A\cup \overline{B})=\frac{4}{5}\)

Depois de simplificadas podemos ainda escrever, tendo em mente que \(P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)\) e \(P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)\) :

\(P(\overline{A}\cup B)=P(\overline{A})+P(B)-P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})+P(B)-\left ( P(B)-P(A\cap B) \right )=P(\overline{A})+P(A\cap B)\)

\(P(A\cup \overline{B})=P(A)+P(\overline{B})-P(A\cap \overline{B})=P(A)+P(\overline{B})-\left ( P(A)-P(A\cap B) \right )=P(\overline{B})+P(A\cap B)\)

Sabemos ainda que \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\) e \(P(A)+P(\overline{A})=1\; \;\; e\; \;\; P(B)+P(\overline{B})=1\) .

Então podemos escrever: \(P(\overline{A}\cup B)=P(\overline{A})+P(A\cap B)\Leftrightarrow P(\overline{A}\cup B)=P(\overline{A})+P(A)+P(B)-P(A\cup B)\Leftrightarrow P(\overline{A}\cup B)=1+P(B)-P(A\cup B)\Leftrightarrow \frac{1}{3}=1+P(B)-\frac{4}{5}\Leftrightarrow P(B)=\frac{2}{15}\)

\(P(A\cup \overline{B})=P(\overline{B})+P(A\cap B)\Leftrightarrow P(A\cup \overline{B})=P(\overline{B})+P(A)+P(B)-P(A\cup B)\Leftrightarrow P(A\cup \overline{B})=1+P(A)-P(A\cup B)\Leftrightarrow \frac{4}{5}=1+P(A)-\frac{4}{5}\Leftrightarrow P(A)=\frac{3}{5}\)

Por último, \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\Leftrightarrow P(A\cap B)=\frac{3}{5}+\frac{2}{15}-\frac{4}{5}\Leftrightarrow P(A\cap B)=-\frac{1}{5}\)

Esta resolução é super exaustiva, mas eu gostava de compreender onde está o meu erro.
Peço desculpa novamente por me intrometer.
Muitíssimo obrigada!