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Uma pesquisa referente a preferencia em relação aos sorvetes A e B mostrou o seguinte resultado: um terço das pessoas en https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=68&t=8381 |
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Autor: | Frankwilliam [ 02 abr 2015, 18:26 ] |
Título da Pergunta: | Uma pesquisa referente a preferencia em relação aos sorvetes A e B mostrou o seguinte resultado: um terço das pessoas en |
Uma pesquisa referente a preferencia em relação aos sorvetes A e B mostrou o seguinte resultado: um terço das pessoas entrevistadas não consomem o sorvete A. Quatro quintos das pessoas entrevistadas não consomem o sorvete B. 327 pessoas consomem os dois sorvetes. Um quinto das pessoas entrevistadas não consomem sorvete. Quantas pessoas foram entrevistadas para essa pesquisa |
Autor: | Baltuilhe [ 02 abr 2015, 19:20 ] |
Título da Pergunta: | Re: Uma pesquisa referente a preferencia em relação aos sorvetes A e B mostrou o seguinte resultado: um terço das pessoas en |
Boa tarde! Neste tipo de problema podemos utilizar a seguinte relação para os conjuntos A e B: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) Se 1/3 não consomem A, 2/3 consomem Se 4/5 não consomem B, 1/5 consomem. 327 consomem OS DOIS. 1/5 NÃO CONSOMEM SORVETE, então 4/5 CONSOMEM! Da ideia acima temos: \(n(A)=\frac{2}{3} n(B)=\frac{1}{5} n(A\cup B)=\frac{4}{5}\) \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\\ \frac{4}{5}=\frac{2}{3}+\frac{1}{5}-n(A\cap B)\text{ multiplicando por 15}\\ 12=10+3-15n(a\cap B)\\ 15n(A\cap B) = 1\\ n(A\cap B)=\frac{1}{15}\) Então, como 327 consomem os dois: \(\frac{1}{15}T=327 T=327\times 15 T=4.905\) Espero ter ajudado! |
Autor: | TelmaG [ 03 abr 2015, 09:40 ] |
Título da Pergunta: | Re: Uma pesquisa referente a preferencia em relação aos sorvetes A e B mostrou o seguinte resultado: um terço das pessoas en |
Bom dia Frankwilliam e Baltuilhe, Desculpem por me estar a intrometer na discussão, mas eu tentei resolver o exercício de outra forma e consegui um feito incrível: cheguei ao resultado que Baltuilhe apresentou, apenas com a diferença de ser o seu simétrico, ou seja, deu negativo. Por isso é que digo que foi um feito incrível, uma vez que consegui o impossível ![]() Obviamente que me enganei em algum lado, mas não consigo descobrir onde, então gostava de partilhar o meu raciocínio com vocês e de vos pedir que se pudessem me ajudassem a encontrar o lapso. A: Consumir o sorvete A B: Consumir o sorvete B \(A\cap B=327\) Agora vou explicar como eu interpretei o enunciado: Frankwilliam Escreveu: um terço das pessoas entrevistadas não consomem o sorvete A , isto significa que um terço dos entrevistados consome B ou não consome A nem B. Do mesmo modo, Frankwilliam Escreveu: Quatro quintos das pessoas entrevistadas não consomem o sorvete B , ou seja, quatro quintos dos entrevistados consome A ou não consome A nem B. Por outro lado, podemos definir o acontecimento "não comer A nem B" pela expressão \(\overline{A}\cap \overline{B}\) (porque se trata da interseção do complementar de A com o complementar de B) e assim \(P(\overline{A}\cap \overline{B})=\frac{1}{5}\) Repare que para chegarmos ao número total de entrevistados, precisamos de encontrar o valor de \(P(A\cap B)\) , uma vez que esta expressão pode ser definida pelo quociente entre o número de entrevistados que consomem, simultaneamente, os dois tipos de sorvete e o número total de entrevistados. Sabemos também que \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\) e que \(P(A\cup B)=1-P(\overline{A\cup B})=1-P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\) . P.S: Eu separei a resolução por vários posts para a conseguir organizar melhor. |
Autor: | TelmaG [ 03 abr 2015, 10:10 ] |
Título da Pergunta: | Re: Uma pesquisa referente a preferencia em relação aos sorvetes A e B mostrou o seguinte resultado: um terço das pessoas en |
Depois de sabermos que \(P(A\cap B)\) é a expressão que pretendemos, podemos traduzir os excertos do enunciado que reorganizámos no post anterior em linguagem matemática. "consumir B ou não consumir A nem B" pode ser escrito sob a forma de \(P(B\cup \left ( \overline{A}\cap \overline{B} \right ))\) Por sua vez, "consumir A ou não consumir A nem B" pode ser traduzido pela expressão \(P(A\cup \left ( \overline{A}\cap \overline{B} \right ))\) Neste momento devemos simplificar cada uma das expressões determinadas anteriormente, utilizando para tal a propriedade distributiva: \(P(B\cup \left ( \overline{A}\cap \overline{B} \right ))=P(\left ( B\cup \overline{A}\, \right )\cap \left ( B\cup \overline{B}\, \right ))=P(\left ( \overline{A}\cup B \right )\cap \Omega )=P(\overline{A}\cup B)=\frac{1}{3}\) \(P(A\cup \left ( \overline{A}\cap \overline{B} \right ))=P(\left ( A\cup \overline{A}\, \right )\cap \left (A\cup \overline{B}\, \right ))=P(\Omega \cap \left ( A\cup \overline{B}\, \right ))=P(A\cup \overline{B})=\frac{4}{5}\) Depois de simplificadas podemos ainda escrever, tendo em mente que \(P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)\) e \(P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)\) : \(P(\overline{A}\cup B)=P(\overline{A})+P(B)-P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})+P(B)-\left ( P(B)-P(A\cap B) \right )=P(\overline{A})+P(A\cap B)\) \(P(A\cup \overline{B})=P(A)+P(\overline{B})-P(A\cap \overline{B})=P(A)+P(\overline{B})-\left ( P(A)-P(A\cap B) \right )=P(\overline{B})+P(A\cap B)\) |
Autor: | TelmaG [ 03 abr 2015, 10:34 ] |
Título da Pergunta: | Re: Uma pesquisa referente a preferencia em relação aos sorvetes A e B mostrou o seguinte resultado: um terço das pessoas en |
Sabemos ainda que \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\) e \(P(A)+P(\overline{A})=1\; \;\; e\; \;\; P(B)+P(\overline{B})=1\) . Então podemos escrever: \(P(\overline{A}\cup B)=P(\overline{A})+P(A\cap B)\Leftrightarrow P(\overline{A}\cup B)=P(\overline{A})+P(A)+P(B)-P(A\cup B)\Leftrightarrow P(\overline{A}\cup B)=1+P(B)-P(A\cup B)\Leftrightarrow \frac{1}{3}=1+P(B)-\frac{4}{5}\Leftrightarrow P(B)=\frac{2}{15}\) \(P(A\cup \overline{B})=P(\overline{B})+P(A\cap B)\Leftrightarrow P(A\cup \overline{B})=P(\overline{B})+P(A)+P(B)-P(A\cup B)\Leftrightarrow P(A\cup \overline{B})=1+P(A)-P(A\cup B)\Leftrightarrow \frac{4}{5}=1+P(A)-\frac{4}{5}\Leftrightarrow P(A)=\frac{3}{5}\) Por último, \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\Leftrightarrow P(A\cap B)=\frac{3}{5}+\frac{2}{15}-\frac{4}{5}\Leftrightarrow P(A\cap B)=-\frac{1}{5}\) Esta resolução é super exaustiva, mas eu gostava de compreender onde está o meu erro. Peço desculpa novamente por me intrometer. Muitíssimo obrigada! |
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