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Bom dia.
Estou com duas dúvidas relacionadas ao seguinte problema:

"Mostre que a sequencia de funções \(g_n(x)=x+\frac{x^n}{n}\) converge uniformemente no intervalo \([0,1]\) para uma função derivável \(g\). Mostre que a sequência das derivadas \(g'_n\) converge simplesmente em \([0,1]\), mas \(g'\) não é igual a \(\lim g'_n\)".

\(g=\lim_{n\rightarrow \infty}g_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\left [ x+\frac{x^n}{n} \right ]=x\), que é uma função derivável.
Para provar que converge uniformemente, devemos provar que, dado \(\varepsilon>0\), existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tal que \(n>n_0\Rightarrow |g'_n-g|<\varepsilon\Rightarrow |x+\frac{x^n}{n}-x|<\varepsilon\Rightarrow |\frac{x^n}{n}|<\varepsilon\Rightarrow \frac{x^n}{n}<\varepsilon\). Como \(x^n \le 1\), então é falso dizer, por exemplo, que \(n>\frac{x^n}{\varepsilon}>\frac{1}{\varepsilon}\). Como então achar \(n_0\)?

A segunda dúvida é que \(\lim g_n'(x)=\lim\left [ 1+x^{n-1} \right ]=1=g'\), ao contrário do que sugere o enunciado.

Há aí uma pequena confusão. Podemos de verdade tomar \(n_0>\frac{1}{\varepsilon}\) porque nesse caso \(n>n_0\) implica que \(\frac{x^n}{n}<\varepsilon x^n\leq \varepsilon\).



O limite é esse apenas no intervalo [0,1). No ponto 1 temos \(\lim g_n'(1)=2\not=g'(1)\).