Fórum de Matemática
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Estava vendo em um livro a demonstração de que para um variável não é possível que haja 2 limites, mas não entendi muito bem.
Pensei no caso em que b>a sendo "a" e "b" constantes uma variável x entre eles tal que |a-x|=|b-x|, assim não seria possível a existência de um \(\varepsilon\)>0 que satisfizesse ambos os limites? Alguém me ajude a entender onde está errado este exemplo.
No livro aparece a justificativa de que \(\varepsilon\)<(b-a)/2 é impossível mas se b>a não teria problema essa desigualdade.

uma maneira de provar a unicidade do limite é assim:
Dados \(X\subset \mathbb{R},f:X\rightarrow \mathbb{R}\) e \(a\) um ponto de acumulação, queremos provar que se \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A;\lim_{x\rightarrow a}f(x)=B\) então \(A=B\)
Pela definição de limite, dado \(\varepsilon> 0\), existe \(\delta_1>0\) tal que \(0<|x-a|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2}\) e existe \(\delta_2>0\) tal que \(0<|x-a|<\delta_2\Rightarrow |f(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2}\). Façamos \(\delta=min\left \{ \delta_1,\delta_2 \right \}\). Então \(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-A-f(x)+B|\le|f(x)-A|+|f(x)-B|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\Rightarrow |A-B|<\varepsilon\) para todo e qualquer \(\varepsilon\), o que implica \(A=B\)

É que neste caso, a demonstração era do limite de uma variável x e não de de uma função y=f(x).
Não sei se ajudaria, mas o livro é cálculo diferencial e integral do piskunov.

Limite de uma sequencia, então? Seria bom se pudesses reproduzir o enunciado.

Bom, o que não entendi foi a demonstração do autor da unicidade do limite de uma variável.
Segue uma transcrição do enunciado do autor e abaixo um caso que pensei.

Vamos supor então l\(\lim x_n=a\) e \(\lim x_n=b\). Afirmamos que b=a. De fato, se não fosse assim, existiria \(k_0 \in \mathbb{N}\) tal que \(k>k_0\Rightarrow |x_n-a|<\frac{|b-a|}{2}\) e existiria \(k_1 \in \mathbb{N}\) tal que \(k>k_1\Rightarrow |x_n-b|<\frac{|b-a|}{2}\). Então, fazendo \(k_2=max\left \{ k_0,k_1 \right \}\) temos que \(k>k_2\Rightarrow |b-a|=|x_n-a-x_n+b|\le|x_n-a|+|x_n-b|<\frac{|b-a|}{2}+\frac{|b-a|}{2}=|b-a|\). Ou seja, chegamos ao resultado absurdo de que \(|b-a|<|b-a|\), o que prova que os limites devem ser iguais.