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Boa noite, tenho dúvida em uma certa questão do guidorizzi, provar a existencia de um delta, porém com polinômios, ficaria grato se pudessem me ajudar com essa questão. Me desculpem, é a primeira vez que utilizo o editor de equações, por isso, a questão ficou embaralhada.

Prove que existe \delta < 0 tal que

\(1 - \delta < x < 1 +\delta \Rightarrow 2 - 1/2 < x^5 + 3x / x^2 +1 < 2 + 1/2\)

Boa noite,

Supondo que o enunciado seja:

Prove que existe \(\delta\) < 0 tal que \(1 - \delta < x < 1 +\delta \Rightarrow 2 - 1/2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} < 2 + 1/2\),

Essa expressão é o mesmo que \(\left| x - 1 \right|< \delta \Rightarrow \left| \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} -2 \right| < \frac{1}{2}\)

Ou seja, provar que o limite da função \(\frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1}\) é \(2\) quanto x tende a \(1\).

Então fazendo \(\delta = \frac{1}{2}\) você tem a implicação válida.

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Fraol
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Como você chegou a esse resultado? Estou tentando entender. Tem como mostrar? Obrigado

Boa noite,

Primeiramente deixa eu corrigir um detalhe:




O correto é: Prove que existe \(\delta \gt 0\) tal que ...

No tocante à resolução, o que fiz foi aplicar a definição de módulo nas expressões com delta e da função. Nesta última eu sbutrai 2 dos 3 membros da expressão.

Se ainda continuar com dúvida, por favor, posta o primeiro ponto que não entendeu e a gente vai discutindo passo a passo.

(essa "prova" é a aplicação da definição de limite).

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Fraol
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Pelo que eu estou estudando você teria que igualar ((x^5 + 3x) / x^2 + 1) - 2 à x - 1 né?

Oi, não é igualar.

Nós temos uma função e um valor, o 2. Daí usamos a definição de limite:

\(\lim_{x \rightarrow a}f(x) = L\) se e somente se, para todo \(\epsilon \gt 0, \epsilon \in R\), existe \(\delta \gt 0, \delta in R\) tal que:

\(\left | f(x) - L \right | \lt \epsilon\) quando \(0 \lt \left | x - a \right | \lt \delta\).

Então usando as transformações que fiz nas expressões e comparando com a definição a resposta é direta.

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Entendi, só queria saber como você fez essas transformações e chegou até delta = 1/2.

Em \(1 - \delta < x < 1 +\delta\) eu subtrai 1 nos três membros:

\(1 - \delta -1 < x -1 < 1 +\delta - 1\) o que dá \(- \delta < x -1 < \delta\) que corresponde a \(\left | x - 1 \right | < \delta\)


Em \(2 - 1/2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} < 2 + 1/2\) eu subtrai 2 nos três membros:

\(2 - 1/2 -2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} - 2 < 2 + 1/2 - 2\) o que dá \(- 1/2 < \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} - 2 < 1/2\) que corresponde a \(\left | \frac{x^5 + 3x}{ x^2 +1} - 2 \right |< 1/2\)

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Ah ta mano, valeu pela ajuda!!

Tenho outro parecido aqui. Eu já fiz, você poderia fazer ele também pra mim saber se o que eu fiz ta certo?

Prove que existe delta > 0 tal que 1 - delta < x < 1 + delta => 2 -1/3 < x^2+x <2+1/3.