Fórum de Matemática
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Não consigo desenvolver essa questão.

Gabarito \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}\)

Bom, vamos lá
Vou inicialmente separar em dois limites:
\(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}+\sqrt{x+6}-\sqrt{6}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}+\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+6}-\sqrt{6}}{x}\)
1º)
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+2-2}{x\cdot(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x\cdot(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

Repita o processo para o outro limite e encontrará o gabarito

Espero ter ajudado, qualquer dúvida sinalize.

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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei

Obrigada, só mais uma dúvida como voce chegou em \(\frac{1}{^{2\sqrt{2}}}\) ?

Ao chegar na última parcela...

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x\cdot(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}\)

simplificarmos o \(x\) do numerador e denominador...

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}\)

e obtemos o resultado \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

espero ter ajudado,
qualquer dúvida sinalize.

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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei

Obrigada ,isso eu entendi, eu queria saber qual método você usou para chegar nesse 2{\sqrt{2}} no denominador.

2\sqrt{2} *

Este resultado decorre do limite:

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{0+2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida sinalize.

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Galileu Galilei

Muito obrigada, me ajudou bastante !