Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá, vai ser o meu primeiro tópico neste fórum.

Tenho andado a estudar e surgiu esta dúvida. Como não estava a encontrar solução satisfatória em lado nenhum para o meu problema, pensei que vocês me pudessem ajudar.

O enunciado é o seguinte:



A minha resolução começou por ser esta, no entanto estou bloqueado a meio do processo e não sei como passar daí.

\(\forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\left|\right|(x,y)\:-\:(0,0)\left| \right|<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta\)

\(\forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\sqrt[]{x^2+y^2}<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta\)

A partir daqui já não consigo fazer mais porque não sei como resolver tendo um seno na função.

Meu caro, bem-vindo ao fórum

Terá que desenvolver esta inequação:

\(\left|(x^2+y^2)sin(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}})\right|<\delta\)

Repare que:

\(\left|(x^2+y^2)sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})\right|=\left|(x^2+y^2)\right|\left|sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})\right|=(x^2+y^2)\left|sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})\right|\)

Como \(0\leq\left|sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})\right|\leq 1\) podemos simplificar:

\((x^2+y^2)\left|sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})\right|\leq (x^2+y^2)\)

Então sabemos que:

\(\left|(x^2+y^2)sin(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}})\right|\leq (x^2+y^2)\)

Logo:

\(\left|(x^2+y^2)sin(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}})\right|<\delta\) desde que \((x^2+y^2)<\delta\)

Como \(\sqrt{x^2+y^2}<\epsilon\) basta esolher \(\epsilon=\sqrt{\delta}\)

Assim,

\(\lim_{x\to0\\y\to0}f(x,y)=0\)

Volta sempre meu caro

Cumprimentos

_________________
João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Agradeço a sua resposta.

Eu pensei seguir um caminho semelhante a esse, mas como as minhas dúvidas eram mais que as certezas, bloqueei na resolução.

Não tem problema meu caro, estamos aqui para ajudar

Volte sempre

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João Pimentel Ferreira
 
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