Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá, pessoal. Tudo bem com vocês?

Estou tendo muita dificuldade para resolver essa questão, por isso peço ajuda a vocês.




Agradeço desde já.

Olá,

Penso que você pode pensar em termos de sequências de racionais e irracionais na vizinhança de qualquer \(a \in R\). Será necessário formalizar os argumentos que passo coloquialmente.

Para qualquer \(a\) racional podemos usar uma sequência de números irracionais, \((x_n)\), tendendo a \(a\). Neste caso \(f(x) = 1\) e \(f(a) = 0\) e o limite não existe.

Analogamente, para qualquer \(a\) irracional podemos usar uma sequência de números racionais, \((x_n)\), tendendo a \(a\). Neste caso \(f(x) = 0\) e \(f(a) = 1\) e o limite não existe.

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Fraol
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Boa noite, Fraol.

Obrigado pela resposta.
Não querendo abusar da sua boa vontade, mas gostaria de saber como poderia fazer essa demonstração de uma maneira formal?

Quito

Boa noite,

Formalizar ... hummm... vamos tentar assim (vou preencher algumas lacunas ocultas na minha sugestão):

Primeiramente, \(\forall a \in Q\), \(a\) é um ponto limite, ou de acumulação, de \(R - Q\). Pela densidade de \(R\), existe uma sequência sequência de números irracionais, \((x_n)_{n \in N}\), com \(x_n \in R-Q\), de forma que \(\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = a\). Pela função dada \(f(x_n) = 1\) e \(f(a) = 0\) e o limite não existe (1) .

Analogamente, \(\forall a \in R-Q\), \(a\) é um ponto limite, ou de acumulação, de \(Q\). Pela densidade de \(R\), existe uma sequência sequência de números racionais, \((y_n)_{n \in N}\), com \(y_n \in Q\), de forma que \(\lim_{n \rightarrow \infty}y_n = a\). Pela função dada \(f(y_n) = 0\) e \(f(a) = 1\) e o limite não existe (2).

Portanto, conforme (1) e (2) não existe \(\lim_{x \rightarrow a}f(x), \forall a \in R\).

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Fraol
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Boa noite a todos . Abordagem sequencial é boa e simplifica diversos problemas . Outra forma ... A ideia é a seguinte : Podemos separar 1 e 0 por intervalos abertos disjuntos , a saber \(I = (- \frac{1}{2} , \frac{1}{2} ) [\tex] e [tex] J = ( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} )\) . Agora dado qualquer x , observe que em virtude da densidade dos racionais e irracionais , qualquer vizinhança (aberta) de x contém valores que são mapeados em 0 e 1 pela aplicação f .Logo , a imagem direta de qq vizinhança(aberta) de x por f nunca ficara inteiramente contida em I ou J . Isso já prova que a função é descontínua em toda reta . Observe que pondo \(\epsilon = 1/2\) .Dado x e qualquer \(\delta > 0\) , o argumento prévio significa que podemos encontrar \(x_{\delta}\) t.q. \(0 < | x_{\delta} - x| < \delta\) , mas \(|f(x_{\delta}) - f(x) | \geq \epsilon\) .