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Como posso resolver estes limites com o conceito de limite fundamental?


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MensagemEnviado: 12 Oct 2016, 13:58 
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Aprendiz007 Escreveu:
Resolva o limite aplicando o conceito de limite fundamental: \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x + \tan x}\)


Olá!

\(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x + \tan x} =}\)

\(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{\sin x}{\cos x}}{x + \frac{\sin x}{\cos x}} =}\)

\(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot x - \sin x}{\cos x} \div \frac{\cos x \cdot x + \sin x}{\cos x} =}\)

\(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot x - \sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\cos x \cdot x + \sin x} =}\)

\(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot x - \sin x}{\cos x \cdot x + \sin x} =}\)

Dividindo o numerador e o denominador por x, teremos:

\(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x}}{\frac{\cos x \cdot x + \sin x}{x}} =}\)

\(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \left ( \cos x - \frac{\sin x}{x} \right )}{x \cdot \left ( \cos x + \frac{\sin x}{x} \right )} =}\)

\(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{\cos x + \frac{\sin x}{x}} - \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x + \frac{\sin x}{x}} =}\)

Mas, sabemos que \(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}\). Então,

\(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{\cos x + \frac{\sin x}{x}} - \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x + \frac{\sin x}{x}} =}\)

\(\mathsf{\frac{1}{1 + 1} - \frac{1}{1 + 1} =}\)

\(\mathsf{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} =}\)

\(\fbox{\mathsf{0}}\)

_________________
Daniel Ferreira
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