Como posso resolver estes limites com o conceito de limite fundamental?
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| Limites trigonometricos utilizando limite fundamental https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=11628 |
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| Autor: | Aprendiz007 [ 12 ago 2016, 21:53 ] | ||
| Título da Pergunta: | Limites trigonometricos utilizando limite fundamental | ||
Como posso resolver estes limites com o conceito de limite fundamental?
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| Autor: | danjr5 [ 12 Oct 2016, 13:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limites trigonometricos utilizando limite fundamental |
Aprendiz007 Escreveu: Resolva o limite aplicando o conceito de limite fundamental: \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x + \tan x}\) Olá! \(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x + \tan x} =}\) \(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{\sin x}{\cos x}}{x + \frac{\sin x}{\cos x}} =}\) \(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot x - \sin x}{\cos x} \div \frac{\cos x \cdot x + \sin x}{\cos x} =}\) \(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot x - \sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\cos x \cdot x + \sin x} =}\) \(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot x - \sin x}{\cos x \cdot x + \sin x} =}\) Dividindo o numerador e o denominador por x, teremos: \(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x}}{\frac{\cos x \cdot x + \sin x}{x}} =}\) \(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \left ( \cos x - \frac{\sin x}{x} \right )}{x \cdot \left ( \cos x + \frac{\sin x}{x} \right )} =}\) \(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{\cos x + \frac{\sin x}{x}} - \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x + \frac{\sin x}{x}} =}\) Mas, sabemos que \(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}\). Então, \(\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{\cos x + \frac{\sin x}{x}} - \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x + \frac{\sin x}{x}} =}\) \(\mathsf{\frac{1}{1 + 1} - \frac{1}{1 + 1} =}\) \(\mathsf{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} =}\) \(\fbox{\mathsf{0}}\) |
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