Helberson Escreveu:\(\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3} =\)
Sabemos da definição de derivada que: uma função \(\mathsf{f(x)}\) é derivável no ponto \(\mathsf{x_0}\) pertencente a um intervalo aberto não-vazio se existir
\(\mathsf{\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)}\)
Desse modo, tiramos que \(\mathsf{f(x) = \sqrt[3]{x}}\) e \(\mathsf{x_0 = 3}\). Isto posto, fazemos:
\(\\ \mathsf{f(x) = \sqrt[3]{\mathsf{x}}} \\\\ \mathsf{f(x) = x^{\frac{1}{3}}} \\\\ \mathsf{f'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1}} \\\\ \mathsf{f'(x) = \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}} \\\\ \mathsf{f'(x) = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}} \\\\ \mathsf{f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}\)
\(\\ \mathsf{f'(3) = \frac{1}{3\sqrt[3]{3^2}}} \\\\ \mathsf{f'(3) = \frac{1}{3\sqrt[3]{3^2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}} \\\\ \fbox{\mathsf{f'(3) = \frac{\sqrt[3]{3}}{9}}}\)