Fórum de Matemática
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\(\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3} =\)

Sabemos da definição de derivada que: uma função \(\mathsf{f(x)}\) é derivável no ponto \(\mathsf{x_0}\) pertencente a um intervalo aberto não-vazio se existir

\(\mathsf{\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)}\)

Desse modo, tiramos que \(\mathsf{f(x) = \sqrt[3]{x}}\) e \(\mathsf{x_0 = 3}\). Isto posto, fazemos:

\(\\ \mathsf{f(x) = \sqrt[3]{\mathsf{x}}} \\\\ \mathsf{f(x) = x^{\frac{1}{3}}} \\\\ \mathsf{f'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1}} \\\\ \mathsf{f'(x) = \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}} \\\\ \mathsf{f'(x) = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}} \\\\ \mathsf{f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}\)

\(\\ \mathsf{f'(3) = \frac{1}{3\sqrt[3]{3^2}}} \\\\ \mathsf{f'(3) = \frac{1}{3\sqrt[3]{3^2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}} \\\\ \fbox{\mathsf{f'(3) = \frac{\sqrt[3]{3}}{9}}}\)

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Daniel Ferreira
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\(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}\)

Para calcularmos esse limite podemos usar a regra de l'hospital, assim:
\(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}\) =\(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\frac{d}{dx}\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{\frac{d}{dx}x-3}\)

\(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}\) =\(\lim_{x\rightarrow 3}\) \({\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)

\(\lim_{x\rightarrow 3}\) \({\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\) = \(\frac{1}{3\sqrt[3]{9}}\)

Se não quiser ou não souber usar derivadas pode sempre recorrer à mudança de variável \(x=t^3\) e então fica com:
\(\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3} =\lim_{t \to \sqrt[3]{3}} \frac{t-\sqrt[3]{3}}{t^3 -3} =\lim_{t \to \sqrt[3]{3}} \frac{t-\sqrt[3]{3}}{(t-\sqrt[3]{3})(t^2 +\sqrt[3]{3}t+\sqrt[3]{3}^2)} =\cdots\)