Limite no infinito envolvendo exponencial natural

[rfmat]

Seja f uma função definida por f(x) = x[e(2/x)-1]. Sobre limx→∞f(x) ,é correto afirmar que o limite:

a) não existe.
b) existe e é igual a 1.
c) existe e é igual a e2.
d) existe e é igual a 2.
e) existe e é igual a 0.

[Sobolev]

\(\lim_{x \to +\infty} \quad x (e^{2/x}-1) = \lim_{x\to +\infty} \frac{e^{2/x}-1}{1/x}\)

usando a regra de Cauchy obtemos
\(\lim_{x\to +\infty} \frac{-\frac{2}{x^2}e^{2/x}}{-1/x^2} = 2n \lim_{x\to +\infty} e^{2/x} = 2 e^0 = 2\)

A alternativa correcta é portanto a d)

Se ainda não estudou a regra de cauchy pode fazer a mudança de variável y = 2/x e usar um limite notável.