Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

BOA NOITE

Preciso de ajuda, pois não cnsigo decompor o seguinte limite:

x\(\lim_{x\to1}\frac{x^{1/3}-1}{x^{1/2}-1}\)
X^1/2-1

não entendo como funciona este calculo.
Se poderem ajudar eu agradeço.
abraço

Use a regra de Cauchy (ou de L'Hopital)
\(\lim_{x\to1}\frac{x^{1/3}-1}{x^{1/2}-1}=\)
\(\lim_{x\to1}\frac{(1/3)x^{-2/3}}{(1/2)x^{-1/2}}=\)
\(\lim_{x\to1}\frac{2x^{-2/3+1/2}}{3}=\)
\(\lim_{x\to1}\frac{2x^{-1/6}}{3}=\frac{2}{3}\)

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

muito bem, só que o professor ainda não chegou em derivada, por isso tem que haver um jeito de resolver sem derivar.

Mesmo assim, muito obrigado amigo.

Ainda não consegui resolver, se alguem conseguir, sem derivar, eu agradeço.

Nesse caso é só tomar a mudança de variável \(t=x^{1/6}\). Ficamos então com:

\(\lim_{x\to 1}\frac{x^{1/3}-1}{x^{1/2}-1}=\lim_{t\to 1}\frac{t^2-1}{t^3-1}=\lim_{t\to 1}\frac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(t^2+t+1)}=\lim_{t\to 1}\frac{t+1}{t^2+t+1}=\frac{2}{3}\).

MARAVILHA !!!
muito obrigado meu amigo.

agora sim consegui resolver.

obrigado