Limite de uma função tendendo ao infinito
01 mai 2017, 23:44
Esse limite seria relacionado ao teorema do confronto ?
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Re: Limite de uma função tendendo ao infinito [resolvida]
02 mai 2017, 19:33
Sabe-se que,
\(\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\)
Desse modo,
\(\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^2=\left(\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)^2=e^2 .\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\)
Desse modo,
\(\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^2=\left(\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)^2=e^2 .\)
Re: Limite de uma função tendendo ao infinito
03 mai 2017, 10:36
A resolução do Bruno é realmente a mais simples. No entanto, não se lembrando desse resultado, pode sempre reduzir a uma indeterminação à qual possa aplicar a regra de Cauchy. Para isso basta notar que
\((1+\frac 1x)^{2x} = e ^{\ln (1+\frac 1x)^{2x}} = e^{2x \ln (1+\frac 1x)}\)
pelo que (usando também a continuidade da função exponencial) o limite dado pode ser calculado como
\(e^{\lim_{x\to +\infty} \frac{2 \ln (1+\frac 1x)}{1/x}}\)
sendo que o limite em expoente envolve uma indeterminação 0/0 que se levanta imediatamente usando a regra de Cauchy ou regra de L'Hôpital).
\((1+\frac 1x)^{2x} = e ^{\ln (1+\frac 1x)^{2x}} = e^{2x \ln (1+\frac 1x)}\)
pelo que (usando também a continuidade da função exponencial) o limite dado pode ser calculado como
\(e^{\lim_{x\to +\infty} \frac{2 \ln (1+\frac 1x)}{1/x}}\)
sendo que o limite em expoente envolve uma indeterminação 0/0 que se levanta imediatamente usando a regra de Cauchy ou regra de L'Hôpital).
Re: Limite de uma função tendendo ao infinito
03 mai 2017, 16:20
Boa estratégia, colega.