Limite a +inf. de √(x+√x)-√(x-1)

[marcosrdac]

Olá! Estou tentanto calcular o limite a seguir há um bom tempo. Quando acho que consegui, meu desenvolvimento me leva a afirmar que ele vale 0. Apesar disso, eu estou certo de que numericamente ele resulta em 1/2. O gabarito da minha lista afirma o mesmo, também.

\(\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x+sqrt{x}}-sqrt{x-1}}\)

Eu tenho desenvolvido ela da seguinte forma:

\(\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x+sqrt{x}}-sqrt{x-1}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x (1+\frac{1}{sqrt{x}})}-sqrt{x (1-\frac{1}{x})}\)
\(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}}-sqrt{x}sqrt{1-\frac{1}{x}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x} (\sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}}-sqrt{1-\frac{1}{x}})\)
\(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x} (\sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}}-sqrt{(1-\frac{1}{sqrt{x}})(1+\frac{1}{sqrt{x}}})\)
\(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x} (\sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}}-sqrt{1-\frac{1}{sqrt{x}}}sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}})\)
\(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x} (sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}}(1-sqrt{1-\frac{1}{sqrt{x}}}}))\)
\(=0\)

Será que alguém consegue dar uma luz sobre como conduzir o desenvolvimento deste limite para que ele resulte corretamente?
Grato desde já!

[Baltuilhe]

Boa noite!

Podemos utilizar a técnica seguinte:
\((a+b).(a-b)=a^2-b^2\)

Veja que se multiplicarmos um binômio por outro com o sinal do meio trocado, encontramos uma diferença entre quadrados... então:
\(\lim_{x\to\infty}{\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}}\\
\lim_{x\to\infty}{\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}\right)\cdot\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}}\\
\lim_{x\to\infty}{\frac{x+\sqrt{x}-(x-1)}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}}\\
\lim_{x\to\infty}{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}}\\
\lim_{x\to\infty}{\frac{\sqrt{x}\cdot\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x\cdot\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}+\sqrt{x\cdot\left(1-\frac{1}{x}\right)}}}\\
\lim_{x\to\infty}{\frac{\cancel{\sqrt{x}}\cdot\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{\cancel{\sqrt{x}}\cdot\left(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} \right )}}\\
\lim_{x\to\infty}{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}}\\
\frac{1+\cancel{\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+\cancel{\frac{1}{\sqrt{x}}}}+\sqrt{1-\cancel{\frac{1}{x}}}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\\\)

[marcosrdac]

Obrigado! XD