Limites fundamentais lim(1+1/x)^x

[alexandrenew]

Eu gostaria de saber o porquê do limite neperiano \(\lim_{x \to + \infty }(1-1/x)^x=e\). (Não Consegui usar Regra de L'Hospital)
Ex.: O limite fundamental trigonométrico é: \(\lim_{x \to 0}senx/x=1\) pois, de acordo com a Regra de L'Hospital, tem-se cos(0)/1=1
Ex²: O limite fundamental logaritmico é :\(\lim_{x \to 0}(a^x -1 )/x=lna\), pois \(a^0lna=lna\)

[Sobolev]

Basta considerar que, sempre que \(1-1/x >0\) pode escrever \((1-1/x)^x = e^{\ln((1-1/x)^x) = e^{x \ln (1-1/x)}\). Assim, e tendo também em conta que a exponencial é uma função contínua,
\(\lim_{x \to +\infty} (1-1/x)^x = e^{\lim_{x \to \infty} x \ln(1-1/x)}= e^{\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1-1/x)}{1/x}}= e^{\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1/x^2}{1-1/x}}{-1/x^2}}=e^{-1}\)

P.S. A sua fórmula não está correcta... Para obter o número de neper deve considerar \(1+1/x\)