problema com limite de quociente

[Walter R]

Agradeceria uma ajuda para resolver a seguinte questão:

Enunciado: Seja \((x_{n})\) uma sequencia de termos positivos. Prove que se o limite \(lim\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\) existe e é menor do que 1, então \((x_{n})\rightarrow 0\).

Há ainda uma sugestão no enunciado: prove primeiro que \(\exists n_{1}\in \mathbb{N}, \exists M\geq 0 , \exists c\in \mathbb{R}\), com \(c<1\) e tais que \(x_{n}\leq Mc^{n}, \forall n\geq n_{1}.\)

[Sobolev]

Se o limite \(\lim \frac{x_{n+1}}{x_n}\) existe e é menor que 1 então, a partir de uma certa ordem p, temos que
\(\frac{x_{n+1} }{x_n} \leq C < 1 \Leftrightarrow x_{n+1} \leq C x_n\)

Desse modo vemos que, para n > p,

\(x_{p+1} \leq C x_p
x_{p+2} \leq C x_{p+1} \leq C^2 x_p
x_{p+3} \leq C x_{p+2} \leq C^3 x_p
\vdots
x_{n} \leq C^{n-p} x_p = \frac{x_p}{C^p} C^n
\vdots\)

Então, como \(0 \leq x_n \leq \frac{x_p}{C^p} C^n\) e \(\frac{x_p}{C^p} C^n \to 0\), concluímos que \(x_n \to 0\).

[Walter R]

Ótima explicação, obrigado.