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| problema com limite de quociente https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=2229 |
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| Autor: | Walter R [ 10 abr 2013, 19:36 ] |
| Título da Pergunta: | problema com limite de quociente [resolvida] |
Agradeceria uma ajuda para resolver a seguinte questão: Enunciado: Seja \((x_{n})\) uma sequencia de termos positivos. Prove que se o limite \(lim\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\) existe e é menor do que 1, então \((x_{n})\rightarrow 0\). Há ainda uma sugestão no enunciado: prove primeiro que \(\exists n_{1}\in \mathbb{N}, \exists M\geq 0 , \exists c\in \mathbb{R}\), com \(c<1\) e tais que \(x_{n}\leq Mc^{n}, \forall n\geq n_{1}.\) |
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| Autor: | Sobolev [ 11 abr 2013, 11:25 ] |
| Título da Pergunta: | Re: problema com limite de quociente |
Se o limite \(\lim \frac{x_{n+1}}{x_n}\) existe e é menor que 1 então, a partir de uma certa ordem p, temos que \(\frac{x_{n+1} }{x_n} \leq C < 1 \Leftrightarrow x_{n+1} \leq C x_n\) Desse modo vemos que, para n > p, \(x_{p+1} \leq C x_p x_{p+2} \leq C x_{p+1} \leq C^2 x_p x_{p+3} \leq C x_{p+2} \leq C^3 x_p \vdots x_{n} \leq C^{n-p} x_p = \frac{x_p}{C^p} C^n \vdots\) Então, como \(0 \leq x_n \leq \frac{x_p}{C^p} C^n\) e \(\frac{x_p}{C^p} C^n \to 0\), concluímos que \(x_n \to 0\). |
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| Autor: | Walter R [ 11 abr 2013, 20:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: problema com limite de quociente |
Ótima explicação, obrigado. |
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