Limite raiz n (1+e^n)/n^2
13 abr 2012, 17:33
Boas, venho mais uma vez contar com a vossa ajuda num problema com limites. O limite é o seguinte:
e a resolução proposta para este exercicio é:
podem ve-la através do seguinte link: http://postimage.org/image/fz714pdhj )
não consigo perceber como chegaram ao ultimo passo após aplicar a formula. Para além deste método, há alguma maneira mais facil de resolver este limite?
e a resolução proposta para este exercicio é:
podem ve-la através do seguinte link: http://postimage.org/image/fz714pdhj )
não consigo perceber como chegaram ao ultimo passo após aplicar a formula. Para além deste método, há alguma maneira mais facil de resolver este limite?
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Re: Limite raiz n (1+e^n)/n^2
13 abr 2012, 18:50
Resolvamos então:
\(\lim{\sqrt[n]{\frac{1+e^n}{n^2}}}\)
Lembre-se que se para todos os valores de \(n, u_n>0\) e se \(\lim{\frac{u_{n+1}}{u_n}}=b\) então \(\lim{\sqrt[n]{u_n}}=b\)
Neste caso esta era a única forma que conheço para resolver este problema...
Então considerando que o primeiro limite dá um número finito, e que \(u_n=\frac{1+e^n}{n^2}\), precisamos de resolver
\(\lim{\frac{\frac{1+e^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{1+e^{n}}{n^2}}}=\lim{\frac{\frac{1+e.e^n}{(n+1)^2}}{\frac{1+e^{n}}{n^2}}}=\lim \frac{n^2(1+e.e^n)}{(n+1)^2 (1+e^n)}=\lim \frac{1/e^n+e}{1/e^n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^2\)
Agora este passo é simples, não se esqueça que o limite do produto é o produto dos limites assim, continuando:
\(\lim \frac{1/e^n+e}{1/e^n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^2=\lim \frac{1/e^n+e}{1/e^n+1} \times \lim \left(\frac{n}{n+1}\right)^2=\frac{1/e^{\infty}+e}{1/e^{\infty}+1} \times \left(\lim \frac{n}{n+1}\right)^2=\frac{0+e}{0+1} \times 1^2=e\)
Cumprimentos
\(\lim{\sqrt[n]{\frac{1+e^n}{n^2}}}\)
Lembre-se que se para todos os valores de \(n, u_n>0\) e se \(\lim{\frac{u_{n+1}}{u_n}}=b\) então \(\lim{\sqrt[n]{u_n}}=b\)
Neste caso esta era a única forma que conheço para resolver este problema...
Então considerando que o primeiro limite dá um número finito, e que \(u_n=\frac{1+e^n}{n^2}\), precisamos de resolver
\(\lim{\frac{\frac{1+e^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{1+e^{n}}{n^2}}}=\lim{\frac{\frac{1+e.e^n}{(n+1)^2}}{\frac{1+e^{n}}{n^2}}}=\lim \frac{n^2(1+e.e^n)}{(n+1)^2 (1+e^n)}=\lim \frac{1/e^n+e}{1/e^n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^2\)
Agora este passo é simples, não se esqueça que o limite do produto é o produto dos limites assim, continuando:
\(\lim \frac{1/e^n+e}{1/e^n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^2=\lim \frac{1/e^n+e}{1/e^n+1} \times \lim \left(\frac{n}{n+1}\right)^2=\frac{1/e^{\infty}+e}{1/e^{\infty}+1} \times \left(\lim \frac{n}{n+1}\right)^2=\frac{0+e}{0+1} \times 1^2=e\)
Cumprimentos
Re: Limite raiz n (1+e^n)/n^2
13 abr 2012, 19:24
muito obrigado pela resposta detalhada, agora já compreendo o exercicio 