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| Limites laterais https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=312 |
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| Autor: | Leonardo [ 16 abr 2012, 22:28 ] |
| Título da Pergunta: | Limites laterais |
sejam f uma função definida num intervalo aberto I e p \(\epsilon\) I. suponha que \(f(x)\leq f(p)\) para todo x \(\epsilon\) I. Prove que \(\lim_{x->p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=0\) desde que o limite exista. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 16 abr 2012, 22:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limites laterais |
Repare caro Leonardo que o limite que apresenta é não mais que a derivada de f no ponto p Ou seja, pela definição \(\lim_{x \to p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}=f'(p)\) Considerando que a função é contínua e diferenciável em \(I\) e que \(f(x)\leq f(p) \forall {x,p \in I}\) \(p\) só pode ser um ponto máximo Ora, nas funções contínuas e diferenciáveis, os extremos (onde os máximos se incluem) têm derivada igual a zero Saudações PS: Não sei se esta é a forma mais formal e correta de demonstração, mas pareceu-me intuitiva. Abraços |
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