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Cálculo de derivada através da definição
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Autor:  emsbp [ 27 abr 2012, 22:20 ]
Título da Pergunta:  Cálculo de derivada através da definição
Boa noite.
Peço ajuda na resolução do seguinte exercício: calcule, caso exista, pela definição a derivada da seguinte função no ponto x= 0:
\(f(x)= \left\{\begin{matrix}\left | x \right |(1+xsen(\frac{1}{x})) &, x \neq 0 \\ 0 & , x=0 \end{matrix}\right.\)


Primeiramente, desenvolvi a função por ramos, sabendo que temos o módulo de x.
Sei que tenho que calcular as derivadas laterais. A minha dificuldade é no cálculo dos limites à direita e à esquerda, através da definição.
Obrigado!
Autor:  João P. Ferreira [ 28 abr 2012, 09:15 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de derivada através da definição
Boas

Sabe que

\(|x|=\left\{\begin{matrix} x, x\geq 0\\ -x, x<0 \end{matrix}\right.\)

Pela definição a derivada no ponto é:

\(f'(a)=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

Assim, a derivada à direita é:

\(f'(a^{+})=\lim_{x \to a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

No nosso caso:

\(f'(0^{+})=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\)

\(=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{x(1+x.sen(1/x))}{x}=1+\lim_{x \to 0^{+}}x.sen(1/x)\)

Como \(sen(1/x)\) é uma função limitada o limite dá 0, sendo então que \(f'(0^{+})=1\)

Analogamente se conclui que \(f'(0^{-})=-1\)

Assim a função não é diferenciável em \(x=0\)

Saudações
Autor:  emsbp [ 28 abr 2012, 20:45 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de derivada através da definição
Ok. Então utilizou a definição geral \(lim_{x->a}\frac{f(x)-f(a))}{(x-a)}\).
Sim, desta forma torna-se mais fácil determinar.
No entanto, apliquei a definição \(lim_{h->0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
(à esquerda e à direita de zero) e só depois encontrar a derivada no ponto x=0 (nos respetivos limites encontrados à esquerda e direita).
Portanto, a minha dúvida reside na determinação da derivada usando a definição por mim indicada.
Por exemplo, após os primeiros cálculos, para x>0, fiquei com \(1+ (lim_{h->0}\frac{x^{2}}{h}(sen(\frac{1}{x+h})-sen\frac{1}{x}))+\(lim_{h->0}h sen(\frac{1}{x+h})) + 2x sen(\frac{1}{x})\). Penso não ter me enganado até aqui. A questão é como continuar a resolução, pois por lógica e para dar o resultado 1, toda a parte após o 1 terá de ser igual a 0.
Autor:  João P. Ferreira [ 01 mai 2012, 03:18 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de derivada através da definição
A questão é que quando se pede a derivada no ponto, e a função está definida por troços como é o caso, a definição que apontei de derivada facilita muito mais as contas, pois é mais intuitiva.

Se quiser usar a outra definição de derivada terá de fazer analogamente \(h \to 0^{+}\) ou \(h \to 0^{-}\)
Autor:  emsbp [ 02 mai 2012, 09:32 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de derivada através da definição
Sim, isto eu sei.
A minha dúvida está exatamente no cálculo à direita e à esquerda de 0, tal como eu já referi anteriormente.
Obrigado!
Autor:  João P. Ferreira [ 02 mai 2012, 10:58 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de derivada através da definição
Estive aqui a fazer contas, e pela fórmula que apresentou parece-me que não dá para calcular...

Parece-me também que as suas contas não estão corretas meu caro...

Lembre-se que \(|x|.x \neq x^2\)

Saudações
Autor:  emsbp [ 02 mai 2012, 12:36 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de derivada através da definição
A solução indicada no exercício é que não existe derivada no ponto 0.
Portanto, teremos que chegar à conclusão que as derivadas à esquerda e à direita de 0 são diferentes.
Quanto ao \(\left | x \right |* x\neq x ^{2}\)
repare que não fiz este cálculo, pois na mensagem que enviei a 28 de abril, apenas apresentei os cálculos para \(h-> 0^{+}\) (até frizei que era para \(x> 0\)). Portanto, já tinha desenvolvido a função por ramos:
\(f(x)= \begin{Bmatrix}x(1+xsen(\frac{1}{x})), x> 0 & \\ -x(1+xsen\left (\frac{1}{x} \right ) ), x<0 & \\ 0, x=0 & \end{Bmatrix}\), donde
\(f(X)=\left\{\begin{matrix}x+x^{2}sen(\frac{1}{x}), x>0 & \\ -x -x^{2}sen\left (\frac{1}{x} \right ), x<0 & \\ 0, x=0 & \end{matrix}\right.\).
A partir daí, iniciei os cálculos à esquerda e à direita.
Autor:  João P. Ferreira [ 02 mai 2012, 14:43 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de derivada através da definição
Perdão meu caro, tem razão :)

Aqui vão as contas então pela definição que apresenta:

\(f'(0^{+})=\lim_{h \to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h \to 0^{+}}\frac{f(h)-0}{h}=\lim_{h \to 0^{+}}\frac{f(h)}{h}=\\ \\=\lim_{h \to 0^{+}}\frac{h+h^2.sen(1/h)}{h}=1+\lim_{h \to 0^{+}}h.sen(1/h)=1+\lim_{h \to 0^{+}}\frac{sen(1/h)}{\frac{1}{h}}\)

Fazendo uma substituição \(1/h=u\)

\(1+\lim_{u \to +\infty}\frac{sen(u)}{u}={1+0}={1}\)

Lembre-se que não precisa da varável \(x\), pois só está a calcular a derivada num único ponto \(x=0\)

Assim terá de usar a definição

\(f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

Saudações :)
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