Fórum de Matemática
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Minha dúvida é sobre o limite \(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{sen(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}\)
é correto fazer a susbtituição \(\\\\ u=x^{2}+y^{2},x\rightarrow 0,y\rightarrow 0,u\rightarrow 0\) e depois calcular o limite de uma variável?

não achei referências em livros sobre a substituição em limite de funções de duas variáveis.

att.
obrigado pela atenção.

Olá Man Utd

Sim, está correto

Não se esqueça é que os limites têm de estar coerentes, ou seja

se \((x,y)\to (0,0)\) então \(x^2+y^2\to 0\)

significa que \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{sen(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}\) é um limite fundamental que dá 1

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

olá João.

então toda vez que eu utilizar a substituição no limite de duas variavéis,o limite se tornará apenas de uma variável.

Certo de sua atenção.

att,

Não, meu caro, vá com calma

Na maioria das situações vc não consegue fazer essa substituição, só quando consegue engrupar tudo numa única variável, \(u\) neste caso

Aqui a substituição já nada lhe valia

\(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{sen(x^{2}+y^{2})}{x^{3}+y^{2}}\)

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João Pimentel Ferreira
 
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entendir essa parte .

mas agora tenho outra dúvida:

\(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\\\\ x=r*cos\alpha \\ y=r*sen\alpha\\(x,y)\rightarrow (0,0),(r,\alpha )\rightarrow (0,0)\\\\ \lim_{r\rightarrow 0}cos^{2}\alpha-sen^{2}\alpha=cos2\alpha\)

por que o ângulo alfa não apareceu no limite assim :

\(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\\\\ \lim_{(r,\alpha )\rightarrow (0,0)}cos^{2}\alpha -sen^{2}\alpha\)

obrigado pela atenção.
att

\(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\)

pela sua substituição \(x^2-y^2=\cos(2\alpha)\) e \(x^2+y^2=r^2\)

logo o limite fica

\(\lim_{(r,\alpha)\rightarrow (0,0)}\frac{\cos(2\alpha)}{r^2}\)

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