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 Título da Pergunta: Regra de Cauchy
MensagemEnviado: 07 mai 2012, 20:14 
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Boa tarde.
Peço ajuda na aplicação da regra de Cauchy no cálculo do seguinte limite: \(\lim_{x->\frac{\pi }{2}}(cos x)^{\frac{\pi }{2}-x}\)
.Como dá uma indeterminação \(0^{0}\), apliquei logaritmos, donde cheguei novamente a uma indeterminação 0x\(\propto\)
Apliquei novamente a regra de Cauchy, mas fiquei na mesma com uma indeterminação.
Obrigado.


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 Título da Pergunta: Re: Regra de Cauchy
MensagemEnviado: 07 mai 2012, 21:53 
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Façamos então:

\((cos x)^{\pi/2-x}=e^{ln((cos x)^{\pi/2-x})}=e^{(\pi/2-x).ln(cos x)}\)

Precisa então de resolver o limite

\(\lim_{x \to \pi/2}((\pi/2-x).ln(cos x))=\lim_{x \to \pi/2}\frac{ln(cos x)}{\frac{1}{(\pi/2-x)}}=\frac{\infty}{\infty}\)

Agora já podes aplicar a regra de Cauchy

As indeterminações \(0\times \infty\) resolvem-se fazendo \(\frac{1}{\infty}\times \infty\)

Se precisares de ajuda para resolver diz...

saudações

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João Pimentel Ferreira
 
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 Título da Pergunta: Re: Regra de Cauchy
MensagemEnviado: 08 mai 2012, 09:27 
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Bom dia.
Até aí eu já tinha resolvido.
A questão é se tenho que derivar novamente, ou existe algum limite notável que possa aplicar.
Obrigado!


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 Título da Pergunta: Re: Regra de Cauchy
MensagemEnviado: 08 mai 2012, 12:37 
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Sim, tens de continuar a usar a regra de Cauchy

\(\frac{(ln(cos x))'}{(\frac{1}{\pi/2-x})'}=\frac{\frac{-sen x}{cos x}}{\frac{1}{(\pi/2-x)^2}}=\frac{-(\pi/2-x)^2 sen x}{cos x}\)

que em \(x=\pi/2\) dá uma indeterminação de \(\frac{0}{0}\)

Aplicando novamente a R.C.

\(\frac{(-(\pi/2-x)^2 sen x)'}{(cos x)'}=\frac{-2(-1)(\pi/2-x) sen x-cos x (\pi/2-x)^2}{1}=2(\pi/2-x) sen x-cos x (\pi/2-x)^2\)

que em \(\pi/2\) dá zero

Assim o limite é \(e^0={1}\)

Saudações

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 Título da Pergunta: Re: Regra de Cauchy
MensagemEnviado: 08 mai 2012, 16:02 
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Muito obrigado!


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