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Normalmente estudam-se os limites direcionais para ver se não tem limite. Neste caso, vão todos dar um valor: 0.
Por exemplo, na direção (1,0),
\(\lim_{x\to 0, y=0}\frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2.0}{(x^2)^{\frac{3}{2}}}=0\)
Uma vez tendo um candidato a limite, que pode ser confirmado noutras direções, provamos que 0 é mesmo o limite. Assim, vemos o limite "de quando a norma do vetor (x,y) tende para 0" (isto é, quando me aproximo do ponto (0,0), seja em que trajetória for) do módulo da função menos 0 (repara que se tendemos para zero, esse módulo tenderá para zero por valores positivos ou zero).
\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \left| \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}-0 \right|\)
Se eu conseguir majorar a expressão do módulo por funções mais simples, tal que no fim consigo calcular o limite e é zero, então a expressão inicial tenderá para 0 também.
Isto é, se \(\lim_{||(x,y)|| \to 0} 0 \le \lim_{||(x,y)|| \to 0} \left| \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}-0 \right| \le ... \le \lim_{||(x,y)|| \to 0} A(x,y)\)
e \(\lim_{||(x,y)|| \to 0} A(x,y)=0\), então posso concluir que o meu limite inicial tende também para 0.
Neste caso, temos
\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \left| \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}-0 \right| =\)
\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \frac{|x|^2|y|^2}{(x^2+y^2)^{3}} \le\)
\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \frac{||(x,y)||^2||(x,y)||^2}{||(x,y)||^{3}}\)
já que \(|x| \le ||(x,y)||\) e o mesmo para \(|y|\)
Assim,
\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \frac{||(x,y)||^2||(x,y)||^2}{||(x,y)||^{3}} =\)
\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \frac{||(x,y)||^4}{||(x,y)||^{3}} =\)
\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} ||(x,y)|| = 0\)
Assim, provamos que o limite é 0.
_________________ José Sousase gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)
Álvaro de Campos, 15-1-1928
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